メトリックスペース（計量付き空間）に対して、サブセット（部分集合）からのディスタンス（距離）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）からのディスタンス（距離）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(S\): \(\subseteq M\)
\(f\): \(: M \to \mathbb{R}, m \mapsto dist (S, m)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を取り、各\(\delta = \epsilon\)に対して、\(f (B_{m, \delta}) \subseteq B_{f (m), \epsilon}\)であることを見る。
ステップ1:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)である任意のものとしよう。
\(m \in M\)を任意のものとしよう。
\(B_{f (m), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}\)を取ろう。
\(\delta = \epsilon\)を取ろう。
\(f (B_{m, \delta}) \subseteq B_{f (m), \epsilon}\)であることを見よう。
\(r' \in f (B_{m, \delta})\)を任意のものとしよう。
\(r' = f (m')\) for an \(m' \in B_{m, \delta}\). \(r' = f (m')\)、ある\(m' \in B_{m, \delta}\)に対して。
\(dist (S, m') \le dist (S, m) + dist (m, m')\)、任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）と任意のポイント間ディスタンス（距離）は任意の他ポイントに関してトライアングル（三角）不等式を満たすという命題によって。
それは、\(f (m') \le f (m) + dist (m, m')\)に等しい。
したがって、\(f (m') - f (m) \le dist (m, m') \lt \delta\)。
対称性により、\(f (m) - f (m') \lt \delta\)。
したがって、\(\vert f (m') - f (m) \vert \lt \delta = \epsilon\)。
それが意味するのは、\(r' = f (m') \in B_{f (m), \epsilon}\)。
したがって、\(f (B_{m, \delta}) \subseteq B_{f (m), \epsilon}\)。
したがって、\(f\)は\(m\)においてコンティニュアス（連続）である。
\(m \in M\)は恣意的であるから、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
