トポロジカルスペース（空間）およびサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のインテリア（内部）は、ポイントたちでサブセット（部分集合）内に包含されるオープンネイバーフッド（開近傍）たちを持つものたちのセット（集合）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のインテリア（内部）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）は、当該スペース（空間）のポイントたちで当該サブセット（部分集合）内に包含される何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちを持つものたちのセット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
\(Int (S)\): \(= S \text{ の } T \text{ 上におけるインテリア（内部） }\)
\(S^`\): \(= \{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (U_t \subseteq S)\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Int (S) = S^`\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Int (S) \subseteq S^`\)であることを見る; ステップ2: \(S^` \subseteq Int (S)\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(t \in Int (S)\)を任意のものとしよう。
\(Int (S)\)は、\(S\)内に包含される全てのオープンサブセット（開部分集合）たちのユニオン（和集合）であるから、\(t \in U\)、以下を満たすあるオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq T\)、つまり、\(U \subseteq S\)、に対して。
したがって、\(U_t := U \subseteq T\)は\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）、つまり、\(U_t \subseteq S\)、である。
したがって、\(t \in S^`\)。
したがって、\(Int (S) \subseteq S^`\)。
ステップ2:
\(t \in S^`\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(U_t\)、つまり、\(U_t \subseteq S\)、がある。
\(Int (S)\)は、\(S\)内に包含される全てのオープンサブセット（開部分集合）たちのユニオン（和集合）であるから、\(U_t \subseteq Int (S)\)。
\(t \in U_t \subseteq Int (S)\)。
したがって、\(S^` \subseteq Int (S)\)。
ステップ3:
したがって、\(Int (S) = S^`\)。
