トポロジカルスペース（空間）およびサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のインテリア（内部）のコンプリメント（補集合）はサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のクロージャー（閉包）であり、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のコンプリメント（補集合）はサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のインテリア（内部）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のインテリア（内部）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）は、当該スペース（空間）のポイントたちで当該サブセット（部分集合）内に包含される何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちを持つものたちのセット（集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）のコンプリメント（補集合）は当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のクロージャー（閉包）であり、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のコンプリメント（補集合）は当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のインテリア（内部）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \setminus Int (S) = \overline{T \setminus S}\)
\(\land\)
\(T \setminus \overline{S} = Int (T \setminus S)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）は、当該スペース（空間）のポイントたちで当該サブセット（部分集合）内に包含される何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちを持つものたちのセット（集合）であるという命題を適用して、\(T \setminus Int (S) = \overline{T \setminus S}\)であることを見る; ステップ2: \(T \setminus Int (T \setminus S) = \overline{T \setminus (T \setminus S)}\)であることを見る。
ステップ1:
任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）は、当該スペース（空間）のポイントたちで当該サブセット（部分集合）内に包含される何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちを持つものたちのセット（集合）であるという命題によって、\(Int (S) = \{t \in T \vert \exists U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (U_t \subseteq S)\}\)。
したがって、\(T \setminus Int (S) = \{t \in T \vert \forall U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (\lnot U_t \subseteq S)\}\)。
\(\lnot U_t \subseteq S\)は\(U_t \cap (T \setminus S) \neq \emptyset\)に等しい。
したがって、\(T \setminus Int (S) = \{t \in T \vert \forall U_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (U_t \cap (T \setminus S) \neq \emptyset)\}\)、それが意味するのは、\(t\)は、\(T \setminus S\)内にあるか、\(T \setminus S\)のあるアキュームレーションポイント（集積点）であること。
したがって、\(T \setminus Int (S) = \overline{T \setminus S}\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
ステップ2:
\(T \setminus Int (T \setminus S) = \overline{T \setminus (T \setminus S)}\)、ステップ1によって、\(= \overline{S}\)。
それが含意するのは、\(T \setminus \overline{S} = Int (T \setminus S)\)。
