ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）、コンパクトサブセット（部分集合）、コンパクトサブセット（部分集合）内に包含されているサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のスペース（空間）上におけるクロージャー（閉包）はコンパクトサブスペース（部分空間）上およびスペース（空間）上でコンパクトであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）、任意のコンパクトサブセット（部分集合）、当該コンパクトサブセット（部分集合）内に包含されている任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の当該スペース（空間）上におけるクロージャー（閉包）は当該コンパクトサブスペース（部分空間）上および当該スペース（空間）上でコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(K\): \(\in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)で、\(S \subseteq K\)を満たすもの
\(\overline{S}\): \(= S \text{ の } T \text{ 上におけるクロージャー（閉包） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{S} \in \{K \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\} \cap \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(K\)は\(T\)上でクローズド（閉）であることを見る; ステップ2: \(\overline{S} \subseteq K\)であることを見る; ステップ3: \(\overline{S}\)は\(K\)上でクローズド（閉）であることを見る; ステップ4: \(\overline{S}\)は\(K\)上でコンパクトであることを見る; ステップ5: \(\overline{S}\)は\(T\)上でコンパクトであることを見る。
ステップ1:
\(K\)は\(T\)上でクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。
ステップ2:
\(\overline{S} \subseteq K\)、なぜなら、\(\overline{S}\)は、\(S\)を包含する全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であり、\(K\)はそうしたクローズドサブセット（閉部分集合）たちの内の1つである。
ステップ3:
\(\overline{S}\)は\(T\)上でクローズド（閉）であり、\(K\)上でクローズド（閉）である、なぜなら、\(\overline{S} = \overline{S} \cap K\)、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ステップ4:
\(K\)はあるコンパクトサブスペース（部分空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。
\(\overline{S}\)は\(K\)上でコンパクトである、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって。
ステップ5:
\(\overline{S}\)は\(T\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。
