クワジコネクテッド（ほぼ連結された）トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のクワジコネクテッド（ほぼ連結された）トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのクワジコネクテッド（ほぼ連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 注
一般には、\(T\)のあるトポロジカルクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントは、\(T\)のトポロジカルコネクテッド（連結された）コンポーネントではない（それは、いくつかのトポロジカルコネクテッド（連結された）コンポーネントたちを包含するのであるが）、しかし、当該トポロジカルクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントが\(T\)である時は、それはコネクテッド（連結された）コンポーネントである、本命題によって。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定し、ある矛盾を見つける; ステップ2: 余談として、同じロジックは、あるトポロジカルクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントが\(T\)でない時には通用しないことを見る。
ステップ1:
\(T\)はコネクテッド（連結された）でなかったと仮定しよう。
\(T = U_1 \cup U_2\)、ここで、\(U_1, U_2 \subseteq T\)は\(T\)の以下を満たす何らかの非空オープンサブセット（開部分集合）たち、つまり、\(U_1 \cap U_2 = \emptyset\)。
ディスクリート（離散）\(T' = \{1, 2\}\)および\(f \in F: T \to T', t \mapsto 1 \text{ 、 } t \in U_1 \text{ である時 }; \mapsto 2 \text{ 、 } t \in U_2 \text{ である時 }\)を取ろう、それは、本当にコンティニュアス（連続）であることになる、なぜなら、\(f^{-1} (\emptyset) = \emptyset\)、\(f^{-1} (\{1\}) = U_1\)、\(f^{-1} (\{2\}) = U_2\)、そして、\(f^{-1} (T') = T\)。
すると、以下を満たすある\(u_1 \in U_1\)およびある\(u_2 \in U_2\)、つまり、\(f (u_1) = 1 \neq 2 = f (u_2)\)、があることになる、\(T\)はトポロジカルクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントであったことに反する矛盾: \(u_1\)および\(u_2\)はトポロジカルクワジコネクテッド（ほぼ連結された）ではなかった。
したがって、\(T\)はコネクテッド（連結された）である。
ステップ2:
余談として、なぜ、同じロジックは、あるトポロジカルクワジコネクテッド（ほぼ連結された）が\(T\)でない時には通用しないのかを見よう。
\(C \subset T\)をあるトポロジカルクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントとしよう。
\(C = U_1 \cup U_2\)と仮定して、ディスクリート（離散）\(T' = \{1, 2\}\)および\(f: C \to T', c \mapsto 1 \text{ 、 } c \in U_1 \text{ である時 }; \mapsto 2 \text{ 、 } c \in U_2 \text{ である時 }\)を取ると、\(f\)は\(T\)からのマップ（写像）ではなく、\(C\)からのものであることになる、ところが、\(f\)は\(T\)からのあるコンティニュアスマップ（連続写像）である必要があった、したがって、\(f\)はコンティニュアス（連続）であるようにドメイン（定義域）\(T\)へ拡張される必要がある、それは、証明できない。
