フィールド（体）およびサブフィールド（部分体）に対して、フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）および非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）でサブフィールド（部分体）コエフィシェント（係数）たちを持つものは、サブフィールド（部分体）コエフィシェント（係数）たちを持つクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つことの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）および任意のサブフィールド（部分体）に対して、当該フィールド（体）上方の任意のポリノミアル（多項式）および任意の非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）で両方共にサブフィールド（部分体）コエフィシェント（係数）たちのみを持つものたちは、両方ともサブフィールド（部分体）コエフィシェント（係数）たちのみを持つクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F'\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(F\): \(\in \{F \text{ の全てのサブフィールド（部分体）たち }\}\)
\(F' [x]\): \(= F' \text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }\)
\(p' (x)\): \(\in F' [x]\)
\(p (x)\): \(\in F' [x]\), \(\neq 0\)
\(q (x)\): \(\in F' [x]\), \(= p' (x) / p (x) \text{ のクウォシェント（商） }\)
\(r (x)\): \(\in F' [x]\), \(= p' (x) / p (x) \text{ のリメインダー（余り） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(p' (x) \text{ および } p (x) \text{ の全てのコエフィシェント（係数）たちは } F \text{ 内にある }\)
\(\implies\)
\(q (x) \text{ および } r (x) \text{ の全てのコエフィシェント（係数）たちは } F \text{ 内にある }\)
//
2: 注1
ある即座の系として、コンプレックスナンバー（複素数）たちフィールド（体）上方の任意のポリノミアル（多項式）および任意の非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）で両方共にリアル（実）コエフィシェント（係数）たちのみを持つものたちは、両方ともリアル（実）コエフィシェント（係数）たちのみを持つクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つ。
3: 証明
全体戦略: 任意のフィールド（体）上方にて、任意のポリノミアル（多項式）と任意の非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）は、ユニークなクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つという命題を適用する; ステップ1: \(p' (x)\)および\(p (x)\)を\(F [x]\)内のものたちとみなし、\(p' (x) = p (x) \widetilde{q} (x) + \widetilde{r} (x)\)、ここで、\(\widetilde{q} (x)\)および\(\widetilde{r} (x)\)はクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）、を得る; ステップ2: \(\widetilde{q} (x)\)および\(\widetilde{r} (x)\)は、\(p' (x)\)および\(p (x)\)が\(F' [x]\)内のものたちとみなされてのクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）でもあることを見て、本命題を結論する。
ステップ1:
\(p' (x)\)および\(p (x)\)は、\(F [x]\)内のものたちであるとみなすことができる、なぜなら、それらのコエフィシェント（係数）たちは\(F\)内にある。
\(p' (x) = p (x) \widetilde{q} (x) + \widetilde{r} (x)\)、ここで、\(\widetilde{q} (x)\)および\(\widetilde{r} (x)\)は\(F [x]\)内におけるクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）である、なぜなら、私たちは、\(F [x]\)内で話をしている、任意のフィールド（体）上方にて、任意のポリノミアル（多項式）と任意の非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）は、ユニークなクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つという命題によって。
ステップ2:
しかし、\(\widetilde{q} (x)\)および\(\widetilde{r} (x)\)は、\(F' [x]\)内のものたちであるとみなすことができる、なぜなら、それらは\(F'\)コエフィシェント（係数）たちを持つ。
すると、\(p' (x) = p (x) \widetilde{q} (x) + \widetilde{r} (x)\)が含意するのは、\(\widetilde{q} (x)\)および\(\widetilde{r} (x)\)は、\(p' (x)\)および\(p (x)\)が\(F' [x]\)内のものたちとみなされてのあるクウォシェント（商）およびあるリメインダー（余り）であるということ、なぜなら、\(deg (\widetilde{r} (x)) \lt deg (p (x))\)はいずれにせよ成立する。
しかし、任意のフィールド（体）上方にて、任意のポリノミアル（多項式）と任意の非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）は、ユニークなクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つという命題によって、\(\widetilde{q} (x)\)および\(\widetilde{r} (x)\)は、ユニーククウォシェント（商）およびユニークリメインダー（余り）に他ならない。
\(\widetilde{q} (x)\)および\(\widetilde{r} (x)\)は\(F\)コエフィシェント（係数）たちのみを持つから、\(p' (x) / p (x)\)の当該クウォシェント（商）および当該リメインダー（余り）は\(F\)コエフィシェント（係数）たちのみを持つ。
4: 注2
別の証明で、もっと直接的なのは、任意のフィールド（体）上方にて、任意のポリノミアル（多項式）と任意の非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）は、ユニークなクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つという命題は、当該クウォシェント（商）および当該リメインダー（余り）のコエフィシェント（係数）たちは\(p' (x)\)および\(p (x)\)のコエフィシェント（係数）たちからフィールド（体）オペレーションたちによって決定されることを示したということ、したがって、\(p' (x)\)および\(p (x)\)のコエフィシェント（係数）たちは\(F\)内にあるので、当該フィールド（体）オペレーションたちの結果たちは\(F\)内にある、なぜなら、\(F\)は当該フィールド（体）オペレーションたち下にて閉じている。
