トポロジカルスペース（空間）上において2ポイントたちのトポロジカルクワジコネクテッド（ほぼ連結された）性はイクイバレンスリレーション（同値関係）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、2ポイントたちのトポロジカルクワジコネクテッド（ほぼ連結された）性の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）上において、2ポイントたちのトポロジカルクワジコネクテッド（ほぼ連結された）性はあるイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(R\): \(= T \text{ 上における } 2 \text{ ポイントたちのクワジコネクテッド（ほぼ連結された）性 }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(R \in \{\text{ 全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(R\)は、あるイクイバレンスリレーション（同値関係）であるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
1) \(\forall t \in T (t \sim t)\): リフレクシビティ（反射性）: 各\(f \in F\)に対して、\(f (t) = f (t)\)。
2) \(\forall t_1, t_2 \in T (t_1 \sim t_2 \implies t_2 \sim t_1)\): シンメトリー（対称性）: 各\(f \in F\)に対して、\(f (t_1) = f (t_2)\)、したがって、各\(f \in F\)に対して、\(f (t_2) = f (t_1)\)。
3) \(\forall t_1, t_2, t_3 \in T ((t_1 \sim t_2 \land t_2 \sim t_3)\implies t_1 \sim t_3)\): トランジティビティ（推移性）: 各\(f \in F\)に対して、\(f (t_1) = f (t_2)\)および\(f (t_2) = f (t_3)\)、したがって、各\(f \in F\)に対して、\(f (t_1) = f (t_3)\)。
したがって、\(R\)はあるイクイバレンスリレーション（同値関係）である。
