コンパクトトポロジカルスペース（空間）およびクローズドサブセット（閉部分集合）たちのセット（集合）でファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）たちの下で閉じているものに対して、オープンサブセット（開部分集合）でセット（集合）のインターセクション（共通集合）を包含するものに対して、セット（集合）の要素でオープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものがあることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）のインターセクション（共通集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）および何らかのクローズドサブセット（閉部分集合）たちの任意のセット（集合）でファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）たちの下で閉じているものに対して、任意のオープンサブセット（開部分集合）で当該セット（集合）のインターセクション（共通集合）を包含するものに対して、当該セット（集合）のある要素で当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(= \{C_j \in \{\text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち } T\} \vert j \in J\}\)で、要素たちのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）たち下で閉じているもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall U \in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } \cap S \subseteq U (\exists C_j \in S (C_j \subseteq U))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\emptyset \in S\)であるケースに対処し、それ以降はそうでないと仮定する; ステップ2: \(T\)のあるファイナイト（有限）カバー（被覆）\(\{U\} \cup \{T \setminus C_j \vert j \in J^`\}\)を取り、\(\cap_{j \in J^`} C_j \subseteq U\)であることを見る。
ステップ1:
\(\emptyset \in S\)であると仮定しよう。
\(\emptyset \subseteq U\)。
\(\emptyset \notin S\)であると仮定しよう、これ以降。
ステップ2:
\(\{U\} \cup \{T \setminus C_j \vert j \in J\}\)は\(T\)のあるオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、各\(t \in T\)に対して、\(t \notin U\)である時、\(t \notin \cap S\)、なぜなら、\(\cap S \subseteq U\)、したがって、\(t \notin C_j\)、ある\(j \in J\)に対して、したがって、\(t \in T \setminus C_j\)、その\(j\)に対して。
あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U\} \cup \{T \setminus C_j \vert j \in J^`\}\)、がある、なぜなら、\(T\)はコンパクトである。
\(\cap_{j \in J^`} C_j \in S\)、なぜなら、\(S\)は要素たちのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）たち下で閉じている。
\(\cap_{j \in J^`} C_j \subseteq U\)、なぜなら、各\(t \in \cap_{j \in J^`} C_j\)に対して、\(t \in C_j\)、各\(j \in J^`\)に対して、したがって、\(t \notin T \setminus C_j\)、各\(j \in J^`\)に対して、したがって、\(\{U\} \cup \{T \setminus C_j \vert j \in J^`\}\)は\(T\)をカバーするから、\(t \in U\)。
