メトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものからのホメオモーフィズム（位相同形写像）に対して、コドメイン（余域）トポロジーはホメオモーフィズム（位相同形写像）によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものからの任意のホメオモーフィズム（位相同形写像）に対して、当該コドメイン（余域）トポロジーは当該ホメオモーフィズム（位相同形写像）によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、メトリック（計量）\(dist_1\)を持ち、インデュースト（誘導された）トポロジー\(O_1\)を持つもの
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)で、トポロジー\(O_2\)を持つもの
\(f\): \(: M_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
\(dist_2\): \(= T_2 \text{ 上のメトリック（計量） }\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\forall t_2, t'_2 \in T_2 (dist_2 (t_2, t'_2) = dist_1 (f^{-1} (t_2), f^{-1} (t'_2)))\)
\(O'_2\): \(= dist_2 \text{ によってインデュースト（誘導された）トポロジー }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(O_2 = O'_2\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(dist_2\)はあるメトリック（計量）であることを見る; ステップ2: 各\(U_2 \in O_2\)に対して、\(U_2 \in O'_2\)であることを見る; ステップ3: 各\(U'_2 \in O'_2\)に対して、\(U'_2 \in O_2\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(dist_2\)は本当にあるメトリック（計量）である、なぜなら、各\(t_{2, 1}, t_{2, 2}, t_{2, 3} \in T_2\)に対して、1) \(0 \le dist_2 (t_{2, 1}, t_{2, 2})\)および\(dist_2 (t_{2, 1}, t_{2, 2}) = 0 \iff t_{2, 1} = t_{2, 2}\): \(dist_2 (t_{2, 1}, t_{2, 2}) = dist_1 (f^{-1} (t_{2, 1}), f^{-1} (t_{2, 2}))\)、しかし、\(0 \le dist_1 (f^{-1} (t_{2, 1}), f^{-1} (t_{2, 2}))\)、そして、\(dist_1 (f^{-1} (t_{2, 1}), f^{-1} (t_{2, 2})) = 0 \iff f^{-1} (t_{2, 1}) = f^{-1} (t_{2, 2}) \iff t_{2, 1} = t_{2, 2}\); 2) \(dist_2 (t_{2, 1}, t_{2, 2}) = dist_2 (t_{2, 2}, t_{2, 1})\): \(dist_2 (t_{2, 1}, t_{2, 2}) = dist_1 (f^{-1} (t_{2, 1}), f^{-1} (t_{2, 2})) = dist_1 (f^{-1} (t_{2, 2}), f^{-1} (t_{2, 1})) = dist_2 (t_{2, 2}, t_{2, 1})\); 3) \(dist_2 (t_{2, 1}, t_{2, 3}) \le dist_2 (t_{2, 1}, t_{2, 2}) + dist_2 (t_{2, 2}, t_{2, 3})\): \(dist_2 (t_{2, 1}, t_{2, 3}) = dist_1 (f^{-1} (t_{2, 1}), f^{-1} (t_{2, 3})) \le dist_1 (f^{-1} (t_{2, 1}), f^{-1} (t_{2, 2})) + dist_1 (f^{-1} (t_{2, 2}), f^{-1} (t_{2, 3})) = dist_2 (t_{2, 1}, t_{2, 2}) + dist_2 (t_{2, 2}, t_{2, 3})\)。
各オープンボール（開球）\(B_{m_1, \epsilon} \subseteq M_1\)に対して、\(f (B_{m_1, \epsilon}) = B_{f (m_1), \epsilon} \subseteq T_2\)であることを見よう。
\(t_2 \in f (B_{m_1, \epsilon})\)を任意のものとしよう。
\(t_2 = f (b_1)\)、ある\(b_1 \in B_{m_1, \epsilon}\)に対して。
\(dist_2 (t_2, f(m_1)) = dist_1 (f^{-1} (t_2), f^{-1} (f(m_1))) = dist_1 (b_1, m_1) \lt \epsilon\)。
したがって、\(t_2 \in B_{f (m_1), \epsilon}\)。
したがって、\(f (B_{m_1, \epsilon}) \subseteq B_{f (m_1), \epsilon}\)。
\(b_2 \in B_{f (m_1), \epsilon}\)を任意のものとしよう。
\(dist_2 (b_2, f (m_1)) \lt \epsilon\)。
しかし、\(dist_2 (b_2, f (m_1)) = dist_1 (f^{-1} (b_2), f^{-1} (f (m_1))) = dist_1 (f^{-1} (b_2), m_1)\)。
したがって、\(f^{-1} (b_2) \in B_{m_1, \epsilon}\)。
したがって、\(b_2 \in f (B_{m_1, \epsilon})\)。
したがって、\(B_{f (m_1), \epsilon} \subseteq f (B_{m_1, \epsilon})\)。
したがって、\(f (B_{m_1, \epsilon}) = B_{f (m_1), \epsilon}\)。
また、各オープンボール（開球）\(B_{t_2, \epsilon} \subseteq T_2\)に対して、\(f^{-1} (B_{t_2, \epsilon}) = B_{f^{-1} (t_2), \epsilon} \subseteq M_1\)、なぜなら、\(B_{t_2, \epsilon} = f (B_{f^{-1} (t_2), \epsilon})\)。
ステップ2:
\(U_2 \in O_2\)を任意のものとしよう。
\(u_2 \in U_2\)を任意のものとしよう。
\(f^{-1} (u_2) \in f^{-1} (U_2)\)。
\(f\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）であるから、\(f^{-1} (U_2) \subseteq M_1 \in O_1\)、そして、\(O_1\)は\(dist_1\)によってインデュースト（誘導された）であるから、以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{f^{-1} (u_2), \epsilon} \subseteq M_1\)、つまり、\(B_{f^{-1} (u_2), \epsilon} \subseteq f^{-1} (U_2)\)、がある。
\(f (B_{f^{-1} (u_2), \epsilon}) \subseteq f (f^{-1} (U_2)) = U_2\)。
しかし、\(f (B_{f^{-1} (u_2), \epsilon}) = B_{u_2, \epsilon}\)、したがって、\(B_{u_2, \epsilon} \subseteq U_2\)。
それが意味するのは、\(U_2 \in O'_2\)。
ステップ3:
\(U'_2 \in O'_2\)を任意のものとしよう。
\(f^{-1} (U'_2) \in O_1\)、なぜなら、各\(m_1 \in f^{-1} (U'_2)\)に対して、\(f (m_1) \in U'_2\)、したがって、以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{f (m_1), \epsilon} \subseteq T_2\)、つまり、\(B_{f (m_1), \epsilon} \subseteq U'_2\)、があり、\(f^{-1} (B_{f (m_1), \epsilon}) \subseteq f^{-1} (U'_2)\)、しかし、\(f^{-1} (B_{f (m_1), \epsilon}) = B_{m_1, \epsilon}\)、したがって、\(f^{-1} (U'_2)\)は、\(dist_1\)によってインデュースト（誘導された）トポロジー、それは、\(O_1\)に他ならない、内でオープン（開）である。
\(U'_2 = f (f^{-1} (U'_2)) \in O_2\)、なぜなら、\(f\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
ステップ4:
したがって、\(O_2 = O'_2\)。
