メトリックスペース（計量付き空間）のトータル（全体的）にバウンデッド（有界）サブセット（部分集合）の定義
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）のトータル（全体的）にバウンデッド（有界）サブセット（部分集合）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(*S\): \(\subseteq M\)
//
コンディションたち:
\(\forall \epsilon \in \mathbb{R} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \epsilon (\exists J \in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}, \exists \{B_{s_j, \epsilon} \vert j \in J, s_j \in S\} (S \subseteq \cup_{j \in J} B_{s_j, \epsilon}))\)
//
2: 注
任意のトータル（全体的）にバウンデッド（有界）\(S\)はバウンデッド（有界）であることを見よう。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
ある\(\{B_{s_j, \epsilon} \vert j \in J, s_j \in S\}\)がある。
\(d := Max (\{dist (s_j, s_l) \vert j, l \in J\})\)としよう、それは、\(\mathbb{R}\)内に存在する、なぜなら、\(J\)はファイナイト（有限）である。
\(s, s' \in S\)を任意のものとしよう。
\(s \in B_{s_j, \epsilon}\)および\(s' \in B_{s_l, \epsilon}\)。
\(dist (s, s') \le dist (s, s_j) + dist (s_j, s_l) + dist (s_l, s') \lt \epsilon + d + \epsilon = d + 2 \epsilon\)。
\(d\)および\(\epsilon\)は\(s, s'\)に依存しないから、\(S\)はバウンデッド（有界）である。
あるメトリックスペース（計量付き空間）のあるバウンデッド（有界）サブセット（部分集合）は必ずしもトータル（全体的）にバウンデッド（有界）ではない。
例えば、\(M\)を任意のインフィニット（無限）セット（集合）で以下を満たすメトリック（計量）、つまり、各\(m_1, m_2 \in M\)に対して、\(m_1 = m_2\)である時、\(dist (m_1, m_2) = 0\)、そうでない場合、\(dist (m_1, m_2) = 1\)、を持つものとしよう。
\(dist\)は本当にあるメトリック（計量）である: 各\(m_1, m_2, m_3 \in M\)に対して、1) \(0 \le dist (m_1, m_2)\)および\(dist (m_1, m_2) = 0 \iff m_1 = m_2\); 2) \(dist (m_1, m_2) = dist (m_2, m_1)\); 3) \(dist (m_1, m_3) \le dist (m_1, m_2) + dist (m_2, m_3)\): \(m_1 = m_3\)である時、\(dist (m_1, m_3) = 0 \le dist (m_1, m_2) + dist (m_2, m_3)\)、そうでない時、\(dist (m_1, m_3) = 1\)および\(1 \le dist (m_1, m_2) + dist (m_2, m_3)\)、なぜなら、\(m_1 \neq m_2\)または\(m_2 \neq m_3\)。
すると、\(M\)はバウンデッド（有界）である、なぜなら、各\(m_1, m_2 \in M\)に対して、\(dist (m_1, m_2) \lt 2\)。
しかし、\(M\)はトータル（全体的）にバウンデッド（有界）ではない、なぜなら、以下を満たす任意の\(\epsilon \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \epsilon \lt 1\)、に対して、各\(m \in M\)に対して、\(B_{m, \epsilon} = \{m\}\)、したがって、全ての\(B_{m, \epsilon}\)が必要である、\(M\)をカバーするために。
