コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(*T\): \(\in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall t \in T (\forall C \in \{T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } t \notin C (\exists f: T \to [0, 1] \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\} (f (t) = 0 \land f (C) = \{1\})))\)
//
2: 注
本定義は、もしも、\(f (t) = 1 \land f (C) = \{0\}\)が\(f (t) = 0 \land f (C) = \{1\}\)の代わりに要求される場合、と同値である: もしも、以下を満たすある\(f\)、つまり、\(f (t) = 0 \land f (C) = \{1\}\)、がある場合、\(1 - f\)は、\(: T \to [0, 1]\)でコンティニュアス（連続）であり、\((1 - f) (t) = 1 - 0 = 1\)および\((1 - f) (C) = \{1 - 1\} = \{0\}\); もしも、以下を満たすある\(f\)、つまり、\(f (t) = 1 \land f (C) = \{0\}\)、がある場合、\(1 - f\)は、\(: T \to [0, 1]\)でコンティニュアス（連続）であり、\((1 - f) (t) = 1 - 1 = 0\)および\((1 - f) (C) = \{1 - 0\} = \{1\}\)。
本定義は、もしも、\(t\)のあるネイバーフッド（近傍）\(N_t \subseteq T\)および以下を満たすあるコンティニュアス（連続）\(f: T \to [0, 1]\)、つまり、\(f (N_t) = \{0\}\)および\(f (C) = \{1\}\)、が要求された場合、と同値である: もしも、以下を満たすある\(f\)、つまり、\(f (t) = 0 \land f (C) = \{1\}\)、がある場合、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)、つまり、\(f (U_t) \subseteq [0, 1 / 2)\)、があり、\(f': [0, 1] \to [0, 1], [0, 1 / 2) \mapsto 0, t \in [1 / 2, 1] \mapsto 2 (t - 1 / 2)\)、それは、コンティニュアス（連続）である、があり、\(f' \circ f\)は、\(: T \to [0, 1]\)でコンティニュアス（連続）であり、\(f' \circ f (U_t) = \{0\}\)および\(f' \circ f (C) = \{1\}\)、したがって、\(U_t\)および\(f' \circ f\)で良い; もしも、以下を満たす、ある\(N_t\)および\(f\)、つまり、\(f (N_t) = \{0\}\)および\(f (C) = \{1\}\)、がある場合、\(f (t) = 0\)および\(f (C) = \{1\}\)。
本定義は、もしも、\(t\)のあるネイバーフッド（近傍）\(N_t \subseteq T\)および以下を満たすあるコンティニュアス（連続）\(f: T \to [0, 1]\)、つまり、\(f (N_t) = \{1\}\)および\(f (C) = \{0\}\)、が要求された場合、と同値である: もしも、以下を満たす、ある\(N_t\)およびある\(f\)、つまり、\(f (N_t) = \{0\}\)および\(f (C) = \{1\}\)、がある場合、\(1 - f\)は、\(: T \to [0, 1]\)でコンティニュアス（連続）であり、\((1 - f) (N_t) = \{1 - 0\} = \{1\}\)および\((1 - f) (C) = \{1 - 1\} = \{0\}\); もしも、以下を満たす、ある\(N_t\)およびある\(f\)、つまり、\(f (N_t) = \{1\}\)および\(f (C) = \{0\}\)、がある場合、\(1 - f\)は、\(: T \to [0, 1]\)でコンティニュアス（連続）であり、\((1 - f) (N_t) = \{1 - 1\} = \{0\}\)および\((1 - f) (C) = \{1 - 0\} = \{1\}\)。
