メトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものおよびポジティブ（正）リアルナンバー（実数）に対して、ディスタンス（距離）、元のディスタンス（距離）とナンバー（数）のミニマム（最小）として、は、メトリック（計量）であり、元のトポロジーをインデュース（誘導）することの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものおよび任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）に対して、ディスタンス（距離）、元のディスタンス（距離）と当該ナンバー（数）のミニマム（最小）として、は、あるメトリック（計量）であり、元のトポロジーをインデュース（誘導）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、メトリック（計量）\(dist'\)を持ち、インデュースト（誘導された）トポロジー\(O'\)を持つもの
\(r\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(0 \lt r\)を満たすもの
\(dist\): \(: M \times M \to \mathbb{R}, (m_1, m_2) \mapsto Min (\{dist' (m_1, m_2), r\})\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(dist \in \{\text{ に対する全てのメトリック（計量）たち } M\}\)
\(\land\)
\(dist \text{ によってインデュースト（誘導された）トポロジー }, O = O'\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(dist\)はあるメトリック（計量）であることを見る; ステップ2: 各\(\epsilon \lt r\)および各\(m \in M\)に対して、\(B_{m, \epsilon} = B'_{m, \epsilon}\)、ここで、\(B_{m, \epsilon}\)および\(B'_{m, \epsilon}\)は、それぞれ、\(dist\)および\(dist'\)によるオープンボール（開球）たち、であることを見る; ステップ3: 各\(U' \in O'\)に対して、\(U' \in O\)であることを見る; ステップ4: 各\(U \in O\)に対して、\(U \in O'\)であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(dist\)はあるメトリック（計量）であることを見よう。
各\(m_1, m_2, m_3 \in M\)に対して、1) \(0 \le dist (m_1, m_2)\)および\(dist (m_1, m_2) = 0 \iff m_1 = m_2\): \(dist (m_1, m_2) = 0\)である時、\(dist (m_1, m_2) = dist' (m_1, m_2) = 0\)、したがって、\(m_1 = m_2\); \(m_1 = m_2\)である時、\(dist (m_1, m_2) = dist' (m_1, m_2) = 0\); 2) \(dist (m_1, m_2) = dist (m_2, m_1)\): \(dist (m_2, m_1) = Min (\{dist' (m_2, m_1)\}, r) = Min (\{dist' (m_1, m_2)\}, r) = dist (m_1, m_2)\); 3) \(dist (m_1, m_3) \le dist (m_1, m_2) + dist (m_2, m_3)\): \(dist (m_1, m_3) = dist' (m_1, m_3)\)である時、\(dist (m_1, m_3) = dist' (m_1, m_3) \le dist' (m_1, m_2) + dist' (m_2, m_3)\)、そして、\(dist (m_1, m_2) = dist' (m_1, m_2)\)および\(dist (m_2, m_3) = dist' (m_2, m_3)\)である時、\(dist (m_1, m_3) = dist' (m_1, m_3) \le dist' (m_1, m_2) + dist' (m_2, m_3) = dist (m_1, m_2) + dist (m_2, m_3)\)、そして、そうでない時、\(dist (m_1, m_3) \le r \le dist (m_1, m_2) + dist (m_2, m_3)\); \(dist (m_1, m_3) = r\)である時、\(dist (m_1, m_3) = r \le dist' (m_1, m_3) \le dist' (m_1, m_2) + dist' (m_2, m_3)\)、そして、\(dist (m_1, m_2) = dist' (m_1, m_2)\)および\(dist (m_2, m_3) = dist' (m_2, m_3)\)である時、\(dist (m_1, m_3) \le dist' (m_1, m_2) + dist' (m_2, m_3) = dist (m_1, m_2) + dist (m_2, m_3)\)、そして、そうでない時、\(dist (r_1, r_3) = r \le dist (m_1, m_2) + dist (m_2, m_3)\)。
ステップ2:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(\epsilon \lt r\)を満たす任意のものとしよう。
\(m \in M\)を任意のものとしよう。
\(B_{m, \epsilon}\)を、\(dist\)によるオープンボール（開球）としよう。
\(B'_{m, \epsilon}\)を、\(dist'\)によるオープンボール（開球）としよう。
\(B_{m, \epsilon} = B'_{m, \epsilon}\)であることを見よう。
\(b \in B_{m, \epsilon}\)を任意のものとしよう。
\(dist (m, b) = Min (\{dist' (m, b), r\}) \lt \epsilon \lt r\)であるので、\(dist' (m, b) \lt \epsilon\)、したがって、\(b \in B'_{m, \epsilon}\)。
したがって、\(B_{m, \epsilon} \subseteq B'_{m, \epsilon}\)。
\(b' \in B'_{m, \epsilon}\)を任意のものとしよう。
\(dist' (m, b') \lt \epsilon \lt r\)であるから、\(dist (m, b') = Min (\{dist' (m, b'), r\}) = dist' (m, b') \lt \epsilon\)、したがって、\(b' \in B_{m, \epsilon}\)。
したがって、\(B'_{m, \epsilon} \subseteq B_{m, \epsilon}\)。
したがって、\(B_{m, \epsilon} = B'_{m, \epsilon}\)。
ステップ3:
\(U \in O\)を任意のものとしよう。
\(u \in U\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(B_{u, \epsilon} \subseteq M\)、つまり、\(B_{u, \epsilon} \subseteq U\)、がある、なぜなら、\(O\)は\(dist\)によるインデュースト（誘導された）である。
\(\epsilon\)は、\(\epsilon \lt r\)であるように取ることができる、なぜなら、もしも、\(r \lt \epsilon\)である場合、なおさら、\(B_{u, r / 2} \subseteq U\)、例えば。
すると、\(B'_{u, \epsilon} = B_{u, \epsilon} \subseteq U\)、ステップ2によって。
それが意味するのは、\(U \in O'\)。
したがって、\(O \subseteq O'\)。
ステップ4:
\(U' \in O'\)を任意のものとしよう。
\(u' \in U'\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(B'_{u', \epsilon} \subseteq M\)、つまり、\(B'_{u', \epsilon} \subseteq U'\)、がある、なぜなら、\(O'\)は\(dist'\)によってインデュースト（誘導された）である。
\(\epsilon\)を、\(\epsilon \lt r\)であるように取ることができる、なぜなら、もしも、\(r \lt \epsilon\)である場合、なおさら、\(B'_{u, r / 2} \subseteq U'\)、例えば。
すると、\(B_{u', \epsilon} = B'_{u', \epsilon} \subseteq U'\)、ステップ2によって。
それが意味するのは、\(U' \in O\)であること。
したがって、\(O' \subseteq O\)。
ステップ5:
したがって、\(O = O'\)。
