メトリックスペース（計量付き空間）たちでインデュースト（誘導された）トポロジーたちを持つものたちのシーケンス（列）に対して、プロダクトセット（集合）に対するこのメトリック（計量）はプロダクトトポロジーをインデュース（誘導）することの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものおよび任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）に対して、ディスタンス（距離）、元のディスタンス（距離）と当該ナンバー（数）のミニマム（最小）として、は、あるメトリック（計量）であり、元のトポロジーをインデュース（誘導）するという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、各コンポーネントマップ（写像）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）たちでインデュースト（誘導された）トポロジーたちを持つものたちの任意のシーケンス（列）に対して、当該プロダクトセット（集合）に対するこのメトリック（計量）は当該プロダクトトポロジーをインデュース（誘導）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{M_j \in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\} \text{ で、メトリック（計量） } dist'_j \text{ を持ち、インデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの } \vert j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}\):
\(\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)で、トポロジー\(O\)を持つもの
\(r\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(0 \lt r\)を満たすもの
\(\{dist_j = Min (\{dist'_j, r\}) \vert j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}\):
\(r'\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(1 / 2 + \sqrt{5} / 2 \lt r'\)を満たすもの
\(dist\): \(: (\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j) \times (\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j) \to \mathbb{R}, (m, m') \mapsto \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} dist_j (m^j, m'^j) / r'^j\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(dist \in \{\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j \text{ に対する全てのメトリック（計量）たち }\}\)
\(\land\)
\(dist\text{ によってインデュースト（誘導された）トポロジー }O' = O\)
//
2: 注
\(1 / 2 + \sqrt{5} / 2 \lt r'\)は、\(0 \lt r'^2 - r' - 1\)、それを"証明"は使う、を保証するためのものである: \(1 / 2 + \sqrt{5} / 2 \lt r'\)であるから、\(\sqrt{5} / 2 \lt r' - 1 / 2\)、\(5 / 4 \lt (r' - 1 / 2)^2\)、そして、\(0 \lt (r' - 1 / 2)^2 - 5 / 4 = r'^2 - r' - 1\)。
\(1 \lt r'\)、なぜなら、\(1 \lt \sqrt{5} / 2\)。
\(dist\)が\(\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j\)をインデュース（誘導）する唯一のメトリック（計量）であるわけではなく、そうしたあるメトリック（計量）である。
任意のファイナイト（有限）プロダクトメトリックスペース（計量付き空間）に対して、当該プロダクトメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーは、当該構成要素メトリック（計量）たちによってインデュースト（誘導された）トポロジーたちのプロダクトトポロジーであるという命題が既に証明されているところ、本命題は、それがメトリックスペース（計量付き空間）たちのあるシーケンス（列）のプロダクトである時に対する一種の代替である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(dist\)はあるメトリック（計量）であることを見る; ステップ2: \(id: (\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j)_{O'} \to \times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j\)、ここで、当該ドメイン（定義域）は\(O'\)を持つ、を取る; ステップ3: \(id\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ4: \(id^{-1}\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(dist\)はあるメトリック（計量）であることを見よう。
\(\sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} dist_j (m^j, m'^j) / r'^j \in \mathbb{R}\)、なぜなら、\(\sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} dist_j (m^j, m'^j) / r'^j \le \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} r / r'^j = r \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} 1 / r'^j = r (1 / r') / (1 - 1 / r')\)。
\(dist_j\)は\(M_j\)上のあるメトリック（計量）である、それは、\(dist'_j\)によってインデュースト（誘導された）トポロジーをインデュース（誘導）する、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものおよび任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）に対して、ディスタンス（距離）、元のディスタンス（距離）と当該ナンバー（数）のミニマム（最小）として、は、あるメトリック（計量）であり、元のトポロジーをインデュース（誘導）するという命題によって。
各\(m, m', m'' \in \times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j\)に対して、1) \(0 \le dist (m, m')\)および\(dist (m, m') = 0 \iff m = m'\): \(dist (m, m') = 0\)である時、\(dist_j (m^j, m'^j) = 0\)、各\(j\)に対して、したがって、\(m^j = m'^j\)、各\(j\)に対して、したがって、\(m = m'\); \(m = m'\)である時、\(m^j = m'^j\)、各\(j\)に対して、したがって、\(dist_j (m^j, m'^j) = 0\)、各\(j\)に対して、したがって、\(dist (m, m') = 0\); 2) \(dist (m, m') = dist (m', m)\): \(dist (m, m') = \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} dist_j (m^j, m'^j) / r'^j = \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} dist_j (m'^j, m^j) / r'^j = dist (m', m)\); 3) \(dist (m, m'') \le dist (m, m') + dist (m', m'')\): \(dist (m, m'') = \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} dist_j (m^j, m''^j) / r'^j \le \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} (dist_j (m^j, m'^j) + dist_j (m'^j, m''^j)) = \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} dist_j (m^j, m'^j) / r'^j + \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} dist_j (m'^j, m''^j) / r'^j = dist (m, m') + dist (m', m'')\)。
したがって、\(dist\)は\(M\)に対するあるメトリック（計量）である。
ステップ2:
\((\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j)_{O'}\)を、プロダクトセット（集合）\(\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j\)でトポロジー\(O'\)を持つものとしよう。
\(id: (\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j)_{O'} \to \times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j\)をアイデンティティ（恒等写像）としよう。
\(id\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る、なぜなら、もしも、そうであれば、各\(U' \in O'\)に対して、\(id (U') = U' \in O\)、そして、各\(U \in O\)に対して、\(id^{-1} (U) = U \in O'\)、したがって、\(O = O'\)が成立することになる。
ステップ3:
\(id\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\pi^j: \times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j \to M_j\)を当該プロジェクション（射影）としよう。
\(\pi^j \circ id: (\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j)_{O'} \to M_j\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(m \in (\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j)_{O'}\)を任意のものとしよう。
\(\pi^j \circ id (m) = m^j\)、そして、\(U_{m^j} \subseteq M_j\)を\(m^j\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
以下を満たすある\(B_{m^j, \epsilon} \subseteq M_j\)、ここで、\(B_{m^j, \epsilon}\)は\(dist_j\)による、つまり、\(B_{m^j, \epsilon} \subseteq U_{m^j}\)、がある、なぜなら、\(M_j\)は、\(dist_j\)によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つ。
\(B'_{m, \epsilon / r'^j} \subseteq (\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j)_{O'}\)を、\(dist\)によるものとしよう。
各\(b' \in B'_{m, \epsilon / r'^j}\)に対して、\(dist (m, b') = \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} dist_j (m^j, b'^j) / r'^j \lt \epsilon / r'^j\)。
したがって、\(dist_j (m^j, b'^j) / r'^j \le \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} dist_j (m^j, b'^j) / r'^j \lt \epsilon / r'^j\)、したがって、\(dist_j (m^j, b'^j) \lt \epsilon\)。
それが意味することは、\(\pi^j \circ id (b') \in B_{m^j, \epsilon}\)、したがって、\(\pi^j \circ id (B'_{m, \epsilon / r'^j}) \subseteq B_{m^j, \epsilon}\)。
\(B'_{m, \epsilon / r'^j}\)は\(m\)の\((\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j)_{O'}\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(O'\)は\(dist\)によってインデュースト（誘導された）である。
したがって、\(\pi^j \circ id\)はコンティニュアス（連続）である。
\(id\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、各コンポーネントマップ（写像）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ステップ4:
\(id^{-1}\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(m \in \times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j\)を任意のものとしよう。
\(U'_m \subseteq (\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j)_{O'}\)を\(id^{-1} (m) = m\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
以下を満たすある\(B'_{m, \epsilon} \subseteq (\times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j)_{O'}\)、ここで、\(B'_{m, \epsilon}\)は\(dist\)による、つまり、\(B'_{m, \epsilon} \subseteq U'_m\)、がある、なぜなら、\(O'\)は\(dist\)によってインデュースト（誘導された）。
以下を満たす\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(1 / r'^n \lt \epsilon (1 - 1 / r' - 1 / r'^2) / r\)、を取ろう: \(0 \lt r'^2 - r' - 1\)、"注"内で言及されたとおり、したがって、\(0 \lt 1 - 1 / r' - 1 / r'^2\)、したがって、そうしたある\(n\)は存在する。
\(B_{m^1, \epsilon / r'} \times ... \times B_{m^{n - 1}, \epsilon / r'} \times M_n \times M_{n + 1} \times ... \subseteq \times_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} M_j\)、ここで、\(B_{m^j, \epsilon / r'}\)は\(dist_j\)による、を取ろう、それは\(m\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(B_{m^j, \epsilon / r'} \subseteq M_j\)はオープン（開）であり当該構成要素たちの内のファイナイト（有限）数のものたちのみが\(M_j\)たちでない。
\(m' \in B_{m^1, \epsilon / r'} \times ... \times B_{m^{n - 1}, \epsilon / r'} \times M_n \times M_{n + 1} \times ...\)を任意のものとしよう。
\(dist (m, m') = \sum_{j \in \{1, ..., n - 1\}} dist_j (m^j, m'^j) / r'^j + \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1, ..., n - 1\}} dist_j (m^j, m'^j) / r'^j \lt \sum_{j \in \{1, ..., n - 1\}} \epsilon / r' / r'^j + \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1, ..., n - 1\}} r / r'^j \lt \epsilon / r' \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} 1 / r'^j + r / r'^{n - 1} \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} 1 / r'^j = (\epsilon / r' + r / r'^{n - 1}) \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} 1 / r'^j = (\epsilon / r' + r / r'^{n - 1}) 1 / r' / (1 - 1 / r') = (\epsilon / r'^2 + r / r'^n) / (1 - 1 / r') \lt (\epsilon / r'^2 + r \epsilon (1 - 1 / r' - 1 / r'^2) / r) / (1 - 1 / r') = \epsilon (1 / r'^2 + 1 - 1 / r' - 1 / r'^2) / (1 - 1 / r') = \epsilon (1 - 1 / r') / (1 - 1 / r') = \epsilon\)。
したがって、\(id^{-1} (m') = m' \in B'_{m, \epsilon}\)。
したがって、\(id^{-1} (B_{m^1, \epsilon / r'} \times ... \times B_{m^{n - 1}, \epsilon / r'} \times M_n \times M_{n + 1} \times ...) \subseteq B'_{m, \epsilon}\)。
したがって、\(id^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である。
ステップ5:
したがって、\(id\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
したがって、\(O' = O\)。
