プロダクトトポロジカルスペース（空間）のプロジェクション（射影）は必ずしもクローズド（閉）でないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドマップ（閉写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、あるプロダクトトポロジカルスペース（空間）のあるプロジェクション（射影）は必ずしもクローズド（閉）でないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\times_{j \in J} T_j\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(l\): \(\in J\)
\(\pi^l\): \(: \times_{j \in J} T_j \to T_l, f \mapsto f (l)\), \(= \text{ 当該プロジェクション（射影） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも以下でない、つまり、"\(\pi^l \in \{\text{ 全てのクローズドマップ（写像）たち }\}\)"
//
2: 注
\(\pi^l\)は不可避に非クローズド（閉）だということではない。
例えば、\(T_1\)および\(T_2\)がディスクリート（離散）である時は、\(\pi^l\)はクローズド（閉）である、なぜなら、\(T_l\)の各サブセット（部分集合）はクローズド（閉）である。
任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）からの任意のプロジェクション（射影）はオープン（開）であるという命題と比較のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: あるクローズド（閉）\(C \subseteq \times_{j \in J} T_j\)に対して、\(\pi^l (C)\)がクローズド（閉）でないある例を見る。
ステップ1:
\(T_1 = \mathbb{R}\)および\(T_2 = \mathbb{R}\)を当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとしよう。
\(tan: (- \pi / 2, \pi / 2) \subseteq T_1 \to T_2\)のグラフ\(C \subseteq \mathbb{R}^2\)はクローズド（閉）である。
しかし、\(\pi^1 (C) = (- \pi / 2, \pi / 2) \subseteq \mathbb{R}\)、それはクローズド（閉）でない。
したがって、\(\pi^1\)はクローズド（閉）でない。
