プロダクトトポロジカルスペース（空間）からのプロジェクション（射影）はオープン（開）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、オープンマップ（開写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）からの任意のプロジェクション（射影）はオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\times_{j \in J} T_j\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(l\): \(\in J\)
\(\pi^l\): \(: \times_{j \in J} T_j \to T_l, f \mapsto f (l)\), \(= \text{ 当該プロジェクション（射影） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\pi^l \in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
//
2: 注
あるプロダクトトポロジカルスペース（空間）のあるプロジェクション（射影）は必ずしもクローズド（閉）でないという命題と比較のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各オープン（開）\(U \subseteq \times_{j \in J} T_j\)に対して、\(U = \cup_{j' \in J'} \times_{j \in J} U_{j', j}\)であることを見る; ステップ2: \(\pi^l (U) = \cup_{j' \in J'} U_{j', l}\)であることを見る。
ステップ1:
\(U \subseteq \times_{j \in J} T_j\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(U = \cup_{j' \in J'} \times_{j \in J} U_{j', j}\)、ここで、\(J'\)はあるアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）であり、各\(j' \in J'\)に対して、\(U_{j', j} \subseteq T_j\)たちは何らかのオープンサブセット（開部分集合）たちでその内の何らかファイナイト（有限）数のものたちのみが\(T_j\)たちでない、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"によって。
ステップ2:
\(\pi^l (U) = \pi^l (\cup_{j' \in J'} \times_{j \in J} U_{j', j}) = \cup_{j' \in J'} \pi^l (\times_{j \in J} U_{j', j})\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(= \cup_{j' \in J'} U_{j', l}\)、それは、\(T_l\)上でオープン（開）である。
したがって、\(\pi^l\)はオープン（開）である。
