ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるユニバーサルネットのサブネットはユニバーサルであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのサブネットの定義を知っている。
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるユニバーサルネットの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるユニバーサルネットの任意のサブネットはユニバーサルであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(D_2\): \(\in \{\text{ 全てのダイレクテッドセット（有向集合）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f_2\): \(: D_2 \to T\), \(\in \{\text{ 全てのユニバーサルネットたち }\}\)
\(D_1\): \(\in \{\text{ 全てのダイレクテッドセット（有向集合）たち }\}\)
\(f_1\): \(: D_1 \to D_2\), \(\in \{\text{ 全てのファイナルマップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_2 \circ f_1 \in \{\text{ 全てのユニバーサルネットたち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f_2 \circ f_1\)は、ユニバーサルであるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(S \subseteq T\)を任意のものとしよう。
\(f_2\)はユニバーサルであるから、\(f_2\)は、イベンチュアル（最終的）に\(S\)内にあるかイベンチュアル（最終的）に\(T \setminus S\)内にあるかである。
\(f_2\)はイベンチュアル（最終的）に\(S\)内にあると仮定しよう。
以下を満たすある\(d_2 \in D_2\)、つまり、\(d_2 \le {d_2}'\)を満たす各\({d_2}' \in D_2\)に対して、\(f_2 ({d_2}') \in S\)、がある。
\(f_1\)はファイナルであるから、以下を満たすある\(d_1 \in D_1\)、つまり、\(d_1 \le {d_1}'\)を満たす各\({d_1}' \in D_1\)に対して、\(d_2 \le f_1 ({d_1}')\)、したがって、\(f_2 \circ f_1 ({d_1}') \in S\)。
したがって、\(f_2 \circ f_1\)はイベンチュアル（最終的）に\(S\)内にある。
\(f_2\)はイベンチュアル（最終的）に\(T \setminus S\)内にあると仮定しよう。
\(f_2 \circ f_1\)はイベンチュアル（最終的）に\(T \setminus S\)内にある、同様に: それは、単に\(S\)を\(T \setminus S\)で置き換えるだけのこと。
\(f_2 \circ f_1\)は、イベンチュアル（最終的）に\(S\)内にあるかイベンチュアル（最終的）に\(T \setminus S\)内にあるかである。
したがって、\(f_2 \circ f_1\)はユニバーサルである。
