ローワーセミコンティニュアスマップ（下方準連続写像）たちのサプリマム（上限）はローワーセミコンティニュアス（下方準連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）エクステンデッド（拡張された）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのローワーセミコンティニュアスマップ（下方準連続写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ローワーセミコンティニュアスマップ（下方準連続写像）たちの任意のセット（集合）のサプリマム（上限）はローワーセミコンティニュアス（下方準連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\overline{\mathbb{R}}\): \(= \text{ 当該エクステンデッド（拡張された）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{f_j: T_1 \to \overline{\mathbb{R}} \vert j \in J, f_j \in \{\text{ 全てのローワーセミコンティニュアスマップ（下方準連続写像）たち }\}\}\):
\(f\): \(: T_1 \to \overline{\mathbb{R}}\), \(= Sup (\{f_j \vert j \in J\})\)、それが意味するのは、各\(t_1 \in T_1\)に対して、\(f (t_1) = Sup (\{f_j (t_1) \vert j \in J\})\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのローワーセミコンティニュアスマップ（下方準連続写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(t_1 \in T_1\)および各\(r \lt f (t_1)\)に対して、\(t_1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_1} \subseteq T_1\)、つまり、\(r \lt f_j (U_{t_1})\)、を取り、\(r \lt f_j (U_{t_1}) \le f (U_{t_1})\)であることを見る。
ステップ1:
\(t_1 \in T_1\)を任意のものとしよう。
\(r \lt f (t_1)\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(j \in J\)、つまり、\(r \lt f_j (t_1)\)、がある、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(f_j\)はローワーセミコンティニュアス（下方準連続）であるから、\(t_1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_1} \subseteq T_1\)、つまり、\(r \lt f_j (U_{t_1})\)、がある。
すると、\(r \lt f_j (U_{t_1}) \le f (U_{t_1})\)、なぜなら、\(f\)は当該サプリマム（上限）である。
したがって、\(f\)はローワーセミコンティニュアス（下方準連続）である。
