トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、サブスペース（部分空間）上のポイントに対して、ポイントにおけるベーススペース（空間）上におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はポイントにおけるサブスペース（部分空間）上におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）、当該サブスペース（部分空間）上の任意のポイントに対して、当該ポイントにおけるベーススペース（空間）上における任意のネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は当該ポイントにおける当該サブスペース（部分空間）上におけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{T' \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(t\): \(\in T\)
\(B'_t\): \(\in \{t \text{ における } T' \text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{N'_{t, j} \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)はあるインデックスセット（集合）である
\(B_t\): \(= \{N'_{t, j} \cap T \vert j \in J\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(B_t \in \{t \text{ における } T \text{ 上における全てのネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(N'_{t, j} \cap T\)は\(t\)の\(T\)上におけるあるネイバーフッド（近傍）であることを見る; ステップ2: \(t\)の\(T\)上における各ネイバーフッド（近傍）\(N_t\)に対して、以下を満たすある\(N'_{t, j} \cap T\)、つまり、\(N'_{t, j} \cap T \subseteq N_t\)、があることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
各\(N'_{t, j} \cap T \in B_t\)は\(t\)の\(T\)上におけるあるネイバーフッド（近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブスペース（部分空間）上の任意のポイントに対して、当該ポイントの当該ベーススペース（空間）上の任意のネイバーフッド（近傍）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は当該サブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）であるという命題によって。
ステップ2:
\(N_t \subseteq T\)を\(t\)の\(T\)上における任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(t\)の\(T\)上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)、つまり、\(U_t \subseteq N_t\)、がある。
\(U_t = U'_t \cap T\)、ここで、\(U'_t \subseteq T'\)は\(t\)の\(T'\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
以下を満たすある\(N'_{t, j} \in B'_t\)、つまり、\(N'_{t, j} \subseteq U'_t\)、がある、ポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）の定義によって。
\(N'_{t, j} \cap T \subseteq U'_t \cap T = U_t \subseteq N_t\)。
ステップ3:
したがって、\(B_t\)は\(t\)における\(T\)上におけるあるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）である。
