ローワーセミコンティニュアスマップ（下方準連続写像）のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はローワーセミコンティニュアス（下方準連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローワーセミコンティニュアスマップ（下方準連続写像）に対して、当該マップ（写像）の任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はローワーセミコンティニュアス（下方準連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\overline{\mathbb{R}}\): \(= \text{ 当該エクステンデッド（拡張された）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(f\): \(: T'_1 \to \overline{\mathbb{R}}\), \(\in \{\text{ 全てのローワーセミコンティニュアスマップ（下方準連続写像）たち }\}\)
\(T_1\): \(\subseteq T'_1\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
\(f \vert_{T_1}\): \(: T_1 \to \overline{\mathbb{R}}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \vert_{T_1} \in \{\text{ 全てのローワーセミコンティニュアスマップ（下方準連続写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(t_1 \in T_1\)および各\(r \lt f \vert_{T_1} (t_1)\)に対して、\(t_1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{t_1} \subseteq T'_1\)、つまり、\(r \lt f (U'_{t_1})\)、を取り、\(U_{t_1} := U'_{t_1} \cap T_1\)を取る。
ステップ1:
\(t_1 \in T_1\)を任意のものとしよう。
\(r \in \mathbb{R}\)を、以下を満たす任意のもの、つまり、\(r \lt f \vert_{T_1} (t_1)\)、としよう。
\(r \lt f \vert_{T_1} (t_1) = f (t_1)\)であり\(f\)はローワーセミコンティニュアス（下方準連続）であるから、\(t_1\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{t_1} \subseteq T'_1\)、つまり、\(r \lt f (U'_{t_1})\)、がある。
\(U_{t_1} := U'_{t_1} \cap T_1\)を取ろう、それは、\(t_1\)の\(T_1\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
\(f \vert_{T_1} (U_{t_1}) = f (U_{t_1}) \subseteq f (U'_{t_1})\)、それが含意するのは、\(r \lt f \vert_{T_1} (U_{t_1})\)。
したがって、\(f \vert_{T_1}\)はローワーセミコンティニュアス（下方準連続）である。
