ファイナイト（有限）-プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、構成要素ベーシス（基底）たちのプロダクトはベーシス（基底）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の構成要素ベーシス（基底）たちのプロダクトはあるベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\times_{j \in J} T_j\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(\{B_j \in \{T_j \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(B\): \(= \{\times_{j \in J} b_j \vert b_j \in B_j\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(B \in \{\times_{j \in J} T_j\} \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\)
//
2: 注
それは、あるファイナイト（有限）-プロダクトである必要がある、なぜなら、そうでなかったら、\(\times_{j \in J} b_j\)はオープン（開）でないことになる、一般には、なぜなら、\(b_j\)たちの内のファイナイト（有限）数のものたちのみだけでないものたちが\(T_j\)たちでないことになる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(B\)は、あるベーシス（基底）であるためのコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
各\(\times_{j \in J} b_j \in B\)は\(\times_{j \in J} T_j\)上でオープン（開）である、なぜなら、各\(b_j \subseteq T_j\)はオープン（開）であり、\(b_j\)たちの内のファイナイト（有限）数のものたちのみが\(T_j\)たちでない（\(b_j\)たちはファイナイト（有限）数しかない）。
\(t \in \times_{j \in J} T_j\)を任意のものとしよう。
\(N_t \subseteq \times_{j \in J} T_j\)を\(t\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
以下を満たすある\(\times_{j \in J} U_j \subseteq \times_{j \in J} T_j\)、つまり、\(t \in \times_{j \in J} U_j \subseteq N_t\)、ここで、\(U_j \subseteq T_j\)はあるオープンサブセット（開部分集合）、がある、プロダクトトポロジーの定義によって。
各\(j \in J\)に対して、\(t^j \in U_j\)、したがって、以下を満たすある\(b_j \in B_j\)、つまり、\(t^j \in b_j \subseteq U_j\)、がある、トポロジカルスペース（空間）に対するベーシス（基底）の定義によって。
\(\times_{j \in J} b_j \in B\)および\(t \in \times_{j \in J} b_j \subseteq \times_{j \in J} U_j \subseteq N_t\)。
したがって、\(B\)は\(\times_{j \in J} T_j\)に対するあるベーシス（基底）である。
