トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）からのコンティニュアスマップ（連続写像）およびコドメイン（余域）のクローズドサブセット（閉部分集合）およびクローズドサブセット（閉部分集合）を包含するオープンサブセット（開部分集合）に対して、ドメイン（定義域）スペース（空間）のオープンサブセット（開部分集合）でクローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）を包含しオープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）はオープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）のプリイメージ（前像）を包含するものがあることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）からの任意のコンティニュアスマップ（連続写像）および当該コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）および当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、当該ドメイン（定義域）スペース（空間）のあるオープンサブセット（開部分集合）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）を包含し当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）は当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）のプリイメージ（前像）を包含するものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(C_1\): \(\in \{T_1 \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
\(f\): \(: C_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(C_2\): \(\in \{T_2 \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
\(U_2\): \(\in \{T_2 \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)で、\(C_2 \subseteq U_2\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists U_1 \in \{T_1 \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } f^{-1} (U_2) = U_1 \cap C_1 (f^{-1} (C_2) \subseteq U_1 \land f^{-1} (T_2 \setminus U_2) \subseteq T_1 \setminus U_1)\)
//
2: 注
それが、どのように重要なのか？\(f^{-1} (C_2) \subseteq T_1\)はあるクローズドサブセット（閉部分集合）であり、\(f^{-1} (C_2) \subseteq U_1 \land f^{-1} (T_2 \setminus U_2) \subseteq T_1 \setminus U_1\)は以下を含意する、つまり、\(T_1\)がノーマル（正規）である時、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、任意のクローズドインターバル（閉区間）の中へのあるコンティニュアスマップ（連続写像）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を当該クローズドインターバル（閉区間）の任意のバウンダリー（境界）へ当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）を他のバウンダリー（境界）へマップするものがある（ユリソーンの補助定理）という命題が、以下を満たすあるコンティニュアス（連続）\(g: T_1 \to [r_1, r_2]\)、つまり、\(g (f^{-1} (C_2)) = \{r_1\} \land g (f^{-1} (T_2 \setminus U_2)) = \{r_2\}\)または\(g (f^{-1} (C_2)) = \{r_2\} \land g (f^{-1} (T_2 \setminus U_2)) = \{r_1\}\)、を持って適用される。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たすあるオープン（開）\(U_1 \subseteq T_1\)、つまり、\(f^{-1} (U_2) = U_1 \cap C_1\)、があることを見る; ステップ2: \(f^{-1} (C_2) \subseteq U_1\)であることを見る; ステップ3: \(f^{-1} (T_2 \setminus U_2) \subseteq T_1 \setminus U_1\)であることを見る。
ステップ1:
\(f^{-1} (U_2) \subseteq C_1\)はオープン（開）である、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
\(f^{-1} (U_2) = U_1 \cap C_1\)、ここで、\(U_1 \subseteq T_1\)はあるオープンサブセット（開部分集合）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
ステップ2:
\(C_2 \subseteq U_2\)であるから、\(f^{-1} (C_2) \subseteq f^{-1} (U_2) = U_1 \cap C_1 \subseteq U_1\)。
ステップ3:
\(f^{-1} (T_2 \setminus U_2) \subseteq T_1 \setminus U_1\)であることを見よう。
\(c_1 \in f^{-1} (T_2 \setminus U_2)\)を任意のものとしよう。
\(f (c_1) \in T_2 \setminus U_2\)。
\(c_1 \notin U_1\)、なぜなら、もしも、\(c_1 \in U_1\)であったら、\(c_1 \in U_1 \cap C_1 = f^{-1} (U_2)\)、したがって、\(f (c_1) \in U_2\)、\(f (c_1) \in T_2 \setminus U_2\)に反する矛盾。
したがって、\(c_1 \in T_1 \setminus U_1\)。
したがって、\(f^{-1} (T_2 \setminus U_2) \subseteq T_1 \setminus U_1\)。
