マップ（写像）およびコドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のコンプリメント（補集合）はサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のプリイメージ（前像）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）間任意のマップ（写像）および当該コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のコンプリメント（補集合）は当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のプリイメージ（前像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(: S_1 \to S_2\)
\(S\): \(\subseteq S_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S_1 \setminus f^{-1} (S) = f^{-1} (S_2 \setminus S)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(s \in S_1 \setminus f^{-1} (S)\)に対して、\(s \in f^{-1} (S_2 \setminus S)\)であり、各\(s \in f^{-1} (S_2 \setminus S)\)に対して、\(s \in S_1 \setminus f^{-1} (S)\)であることを見る。
ステップ1:
\(s \in S_1 \setminus f^{-1} (S)\)を任意のものとしよう。
\(s \notin f^{-1} (S)\)、\(f (s) \notin S\)、\(f (s) \in S_2 \setminus S\)、したがって、\(s \in f^{-1} (S_2 \setminus S)\)。
したがって、\(S_1 \setminus f^{-1} (S) \subseteq f^{-1} (S_2 \setminus S)\)。
\(s \in f^{-1} (S_2 \setminus S)\)を任意のものとしよう。
\(f (s) \in S_2 \setminus S\)、\(f (s) \notin S\)、\(s \notin f^{-1} (S)\)、したがって、\(s \in S_1 \setminus f^{-1} (S)\)。
したがって、\(f^{-1} (S_2 \setminus S) \subseteq S_1 \setminus f^{-1} (S)\)。
したがって、\(S_1 \setminus f^{-1} (S) = f^{-1} (S_2 \setminus S)\)。
