メジャースペース（測度空間）および\(2\)個のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のメジャー（測度）はサブセット（部分集合）たちのメジャー（測度）たちの合計マイナスサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のメジャー（測度）であることの記述/証明
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）および任意の\(2\)個のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たちに対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のメジャー（測度）は当該サブセット（部分集合）たちのメジャー（測度）たちの合計マイナス当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のメジャー（測度）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャースペース（測度空間）たち }\}\)
\(\{a_1, a_2\}\): \(\subseteq A\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\mu (a_1 \cup a_2) = \mu (a_1) + \mu (a_2) - \mu (a_1 \cap a_2)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(a_1 \cup a_2 = (a_1 \setminus (a_1 \cap a_2)) \cup (a_2 \setminus (a_1 \cap a_2)) \cup (a_1 \cap a_2)\)、排他的ユニオン（和集合）として、であることを見る; ステップ2: \(\mu (a_1 \cup a_2) = \mu (a_1) + \mu (a_2) - \mu (a_1 \cap a_2)\)であることを見る、当該排他的ユニオン（和集合）を使って。
ステップ1:
\(a_1 \cup a_2 = (a_1 \setminus (a_1 \cap a_2)) \cup (a_2 \setminus (a_1 \cap a_2)) \cup (a_1 \cap a_2)\)、排他的ユニオン（和集合）として、\(2\)個の任意のセット（集合）たちに対して、当該セット（集合）たちのユニオン（和集合）は、第1セット（集合）マイナス当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、第2セット（集合）マイナス当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）の排他的ユニオン（和集合）であるという命題によって。
ステップ2:
したがって、\(\mu (a_1 \cup a_2) = \mu ((a_1 \setminus (a_1 \cap a_2)) \cup (a_2 \setminus (a_1 \cap a_2)) \cup (a_1 \cap a_2)) = \mu (a_1 \setminus (a_1 \cap a_2)) + \mu (a_2 \setminus (a_1 \cap a_2)) + \mu (a_1 \cap a_2)\)。
しかし、\(\mu (a_1 \setminus (a_1 \cap a_2)) = \mu (a_1) - \mu (a_1 \cap a_2)\)、なぜなら、\(a_1 = (a_1 \setminus (a_1 \cap a_2)) \cup (a_1 \cap a_2)\)、排他的ユニオン（和集合）として; \(\mu (a_2 \setminus (a_1 \cap a_2)) = \mu (a_2) - \mu (a_1 \cap a_2)\)、同様に。
したがって、\(= \mu (a_1) - \mu (a_1 \cap a_2) + \mu (a_2) - \mu (a_1 \cap a_2) + \mu (a_1 \cap a_2) = \mu (a_1) + \mu (a_2) - \mu (a_1 \cap a_2)\)。
