ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）からインターバル（区間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、同一インターバル（区間）の中へのコンティニュアス（連続）エクステンション（拡張）がある（ティーチェエクステンション（拡張）定理）ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間任意のコンスタントマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）からの任意のコンティニュアスマップ（連続写像）および当該コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）および当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、当該ドメイン（定義域）スペース（空間）のあるオープンサブセット（開部分集合）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）を包含し当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）は当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）のプリイメージ（前像）を包含するものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のメトリックスペース（計量付き空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、当該コンバージェンス（収束マップ（写像））はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、任意のクローズドインターバル（閉区間）の中へのあるコンティニュアスマップ（連続写像）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を当該クローズドインターバル（閉区間）の任意のバウンダリー（境界）へ当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）を他のバウンダリー（境界）へマップするものがある（ユリソーンの補助定理）を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）から任意のインターバル（区間）の中への任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、同一インターバル（区間）の中への当該マップ（写像）のあるコンティニュアス（連続）エクステンション（拡張）がある（ティーチェエクステンション（拡張）定理）という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(C\): \(\in \{T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
\(I\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ の全てのインターバル（区間）たち }\}\)で、\(I = (r_1, r_2), (r_1, r_2], [r_1, r_2), \text{ または } [r_1, r_2]\)であるもの、ここで、\(r_1\)または\(r_2\)は\(- \infty\)か\(\infty\)かもしれない
\(f\): \(: C \to I\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists g: T \to I \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\} (g \vert_C = f)\)
//
2: 注
\(I\)が妥当であるのは、以下のケースたちだけである: \((r_1, r_2), (r_1, r_2], \text{ } [r_1, r_2)\)に対しては、\(r_1 \lt r_2\); \([r_1, r_2]\)に対しては、\(r_1 \le r_2\)。
任意のクローズドバウンダリー（閉境界）は、\(\infty\)や\(- \infty\)を持たない。
\(I\)のローワーバウンダリー（下方境界）は、\(Inf (\{f (c) \vert c \in C\})\)であるように取ることができ（しかし、そうしなければいけないわけではない）、\(I\)のアッパーバウンダリー（上方境界）は、\(Sup (\{f (c) \vert c \in C\})\)であるように取ることができ（しかし、そうしなければいけないわけではない）; そうである時、当該インフィマム（下限）またはサプリマム（上限）がミニマム（最小）またはマキシマム（最大）でない時は、\(I\)は、ローワーオープン（下方開）またはアッパーオープン（上方開）に取ることができる（しかし、そうしなければいけないわけではない）、そうでない時は、\(I\)は、ローワークローズド（下方閉）またはアッパークローズド（上方閉）に取る必要がある。
本命題が主張しているのは、例えば、\(I = (r_1, r_2)\)である時、\(g\)は、\((r_1, r_2)\)の中へのものと取ることができる、\([r_1, r_2]\)の中へではなく、ということ: \(Inf (\{g (t) \vert t \in T\}) = Inf (\{f (c) \vert c \in C\})\)および\(Sup (\{g (t) \vert t \in T\}) = Sup (\{f (c) \vert c \in C\})\)はあるより弱い主張であり、\(g\)は\([r_1, r_2]\)の中へのものであることのみを保証する。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(I\)はバウンデッド（有界）であると仮定する; ステップ2: \(r := r_2 - r_1\)を定義し、\(r = 0\)であるケースに対処し、それ以降は、\(0 \lt r\)であると仮定する; ステップ3: \(f_0 := f - r_1: C \to [0, r]\)、\(g_1: T \to [0, 1 / 3 r]\)で以下を満たすもの、つまり、\(g_1 ({f_0}^{-1} ([0, 1 / 3 r])) = \{0\} \land g_1 ({f_0}^{-1} ([2 / 3 r, r])) = \{1 / 3 r\}\)、および、\(f_1 := f_0 - g_1 \vert_C: C \to [0, 2 / 3 r]\)を定義する; ステップ4: 帰納的に、\(g_n: T \to [0, 1 / 3 (2 / 3)^{n - 1} r]\)で以下を満たすもの、つまり、\(g_n ({f_{n - 1}}^{-1} ([0, 1 / 3 (2 / 3)^{n - 1} r])) = \{0\} \land g_n ({f_{n - 1}}^{-1} ([2 / 3 (2 / 3)^{n - 1} r, (2 / 3)^{n - 1} r])) = \{1 / 3 (2 / 3)^{n - 1} r\}\)、および\(f_n : C \to [0, (2 / 3)^n r] = f_{n - 1} - g_n \vert_C\)を定義する; ステップ5: \(g := \sum_{n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} g_n : T \to [0, r]\)はユニフォーム（一様）にコンバージ（収束する）し\(g \vert_C = f_0\)であることを見る; ステップ6: \(I = [r_1, r_2]\)であるケースに対処し、他のケースたちに対処する、例えば、\(g - 1 / 2 r\)、\(C' \subseteq T := (g - 1 / 2 r)^{-1} (\{- r / 2, r / 2\})\)、以下を満たすあるコンティニュアス（連続）\(h: T \to [0, 1]\)、つまり、\(h (C') = \{0\} \land h (C) = \{1\}\)、\((g - 1 / 2 r) h + 1 / 2 r + r_1: T \to I\)を取ることによって; ステップ7: \(f\)は値バウンデッド（有界）でないと仮定する; ステップ8: \(tan: (- \pi / 2, \pi / 2) \to (- \infty, \infty)\)および値バウンデッド（有界）\(tan^{-1} \circ f\)を取り、以下を満たすあるコンティニュアス（連続）\(g\)、つまり、\(g \vert_C = tan^{-1} \circ f\)、を取り、\(tan \circ g: T \to I\)は、当該要求たちを満たすあるものであることを見る。
ステップ1:
\(I\)はバウンデッド（有界）であると仮定しよう、それが意味するのは、\(r_1 \neq - \infty\)および\(r_2 \neq \infty\)。
ステップ2:
\(r := r_2 - r_1\)を定義しよう。
\(r = 0\)であると仮定しよう。
それが意味するのは、\(I = [r_1, r_1]\): "注"を参照のこと。
すると、\(g = r_1: T \to I\)、コンスタント、で十分である: \(g\)は、\(I\)の中へのもので、コンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間任意のコンスタントマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、そして、\(g_C = f\)。
これ以降、\(0 \lt r\)であると仮定しよう。
ステップ3:
\(f_0 := f - r_1: C \to [0, r]\)を定義しよう: もしも、\(I\)がクローズド（閉）でない場合も、それは、妥当である、なぜなら、コドメイン（余域）をより大きくすることは許される。
\(f_0\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(f: C \to \mathbb{R}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、\(f - r_1: C \to \mathbb{R}\)は明らかにコンティニュアス（連続）である、そして、\(f - r_1: C \to [0, r]\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\([0, 1 / 3 r] \subseteq [0, r]\)はクローズド（閉）であり、\([0, 2 / 3 r) \subseteq [0, r]\)は、オープン（開）で\([0, 1 / 3 r] \subseteq [0, 2 / 3 r)\)を満たす。
したがって、以下を満たすあるコンティニュアス（連続）\(g_1: T \to [0, 1 / 3 r]\)、つまり、\(g_1 ({f_0}^{-1} ([0, 1 / 3 r])) = \{0\} \land g_1 ({f_0}^{-1} ([2 / 3 r, r])) = \{1 / 3 r\}\)、がある、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）からの任意のコンティニュアスマップ（連続写像）および当該コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）および当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、当該ドメイン（定義域）スペース（空間）のあるオープンサブセット（開部分集合）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）を包含し当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）は当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）のプリイメージ（前像）を包含するものがあるという命題によって。
\(f_1 := f_0 - g_1 \vert_C: C \to [0, 2 / 3 r]\)を定義しよう、それは妥当である、なぜなら、\(C = {f_0}^{-1} ([0, r]) = {f_0}^{-1} ([0, 1 / 3 r]) \cup {f_0}^{-1} ((1 / 3 r, 2 / 3 r)) \cup {f_0}^{-1} ([2 / 3 r, r])\)であるところ、各\(c \in {f_0}^{-1} ([0, 1 / 3 r])\)に対して、\((f_0 - g_1 \vert_C) (c) = f_0 (c) \in [0, 1 / 3 r]\); 各\(c \in {f_0}^{-1} ((1 / 3 r, 2 / 3 r))\)に対して、\(0 = 1 / 3 r - 1 / 3 r \lt (f_0 - g_1 \vert_C) (c) \lt 2 / 3 r - 0 = 2 / 3 r\); 各\(c \in {f_0}^{-1} ([2 / 3 r, r])\)に対して、\((f_0 - g_1 \vert_C) (c) = f_0 (c) - 1 / 3 r\)および\(1 / 3 r = 2 / 3 r - 1 / 3 r \le f_0 (c) - 1 / 3 r \le r - 1 / 3 r = 2 / 3 r\)。
\(f_1\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(g_1: T \to \mathbb{R}\)および\(f_0: C \to \mathbb{R}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、\(g_1 \vert_C: C \to \mathbb{R}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、\(f_0 - g_1 \vert_C: C \to \mathbb{R}\)は明らかにコンティニュアス（連続）である、そして、\(f_0 - g_1 \vert_C: C \to [0, 2 / 3 r]\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
ステップ4:
帰納的に、\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、以下を満たすコンティニュアス（連続）\(g_n: T \to [0, 1 / 3 (2 / 3)^{n - 1} r]\)、つまり、\(g_n ({f_{n - 1}}^{-1} ([0, 1 / 3 (2 / 3)^{n - 1} r])) = \{0\} \land g_n ({f_{n - 1}}^{-1} ([2 / 3 (2 / 3)^{n - 1} r, (2 / 3)^{n - 1} r])) = \{1 / 3 (2 / 3)^{n - 1} r\}\)、およびコンティニュアス（連続）\(f_n : C \to [0, (2 / 3)^n r] = f_{n - 1} - g_n \vert_C\)を定義しよう、以下のように。
私たちはコンティニュアス（連続）\(f_{n' - 1}: C \to [0, (2 / 3)^{n' - 1} r]\)を持っていると仮定しよう。
\([0, 1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r] \subseteq [0, (2 / 3)^{n' - 1} r]\)はクローズド（閉）であり\([0, 2 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r) \subseteq [0, (2 / 3)^{n' - 1} r]\)はオープン（開）で\([0, 1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r] \subseteq [0, 2 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r)\)を満たす。
したがって、以下を満たすあるコンティニュアス（連続）\(g_{n'}: T \to [0, 1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r]\)、つまり、\(g_{n'} ({f_{n' - 1}}^{-1} ([0, 1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r])) = \{0\} \land g_{n'} ({f_0}^{-1} ([2 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r, (2 / 3)^{n' - 1} r])) = \{1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r\}\)、がある、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）からの任意のコンティニュアスマップ（連続写像）および当該コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）および当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、当該ドメイン（定義域）スペース（空間）のあるオープンサブセット（開部分集合）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）を包含し当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）は当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）のプリイメージ（前像）を包含するものがあるという命題に対する"注"によって。
\(f_{n'} := f_{n' - 1} - g_{n'} \vert_C: C \to [0, (2 / 3)^{n'} r]\)を定義しよう、それは、妥当である、なぜなら、\(C = {f_{n' - 1}}^{-1} ([0, (2 / 3)^{n' - 1} r]) = {f_{n' - 1}}^{-1} ([0, 1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r]) \cup {f_{n' - 1}}^{-1} ((1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r, 2 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r)) \cup {f_{n' - 1}}^{-1} ([2 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r, (2 / 3)^{n' - 1} r])\)であるところ、各\(c \in {f_{n' - 1}}^{-1} ([0, 1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r])\)に対して、\((f_{n' - 1} - g_{n'} \vert_C) (c) = f_{n' - 1} (c) \in [0, 1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r]\); 各\(c \in {f_{n' - 1}}^{-1} ((1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r, 2 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r))\)に対して、\(0 = 1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r - 1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r \lt (f_{n' - 1} - g_{n'} \vert_C) (c) \lt 2 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r - 0 = 2 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r\); 各\(c \in {f_{n' - 1}}^{-1} ([2 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r, (2 / 3)^{n' - 1} r])\)に対して、\((f_{n' - 1} - g_1 \vert_C) (c) = f_{n' - 1} (c) - 1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r\)および\(1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r = 2 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r - 1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r \le f_{n' - 1} (c) - 1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r \le (2 / 3)^{n' - 1} r - 1 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r = 2 / 3 (2 / 3)^{n' - 1} r\)。
\(f_{n'}\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(g_{n'}: T \to \mathbb{R}\)および\(f_{n' - 1}: C \to \mathbb{R}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、\(g_{n' - 1} \vert_C: C \to \mathbb{R}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、\(f_{n' - 1} - g_{n'} \vert_C: C \to \mathbb{R}\)は明らかにコンティニュアス（連続）である、そして、\(f_{n' - 1} - g_{n'} \vert_C: C \to [0, (2 / 3)^{n'} r]\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
ステップ5:
\(g := \sum_{n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} g_n : T \to [0, r]\)を定義しよう、それは、妥当である、なぜなら、各\(t \in T\)に対して、\(0 = \sum_{n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} 0 \le \sum_{n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} g_n (t) \le \sum_{n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} 1 / 3 (2 / 3)^{n - 1} r = 1 / 3 r (1 + 2 / 3 + (2 / 3)^2 + ...) = 1 / 3 r 1 / (1 - 2 / 3) = r\)。
\(g\)はユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）である、なぜなら、各\(t \in T\)に対して、\(\vert (g - \sum_{n \in \{1, ..., n'\}} g_n) (t) \vert = \sum_{n \in \{n' + 1, ...\}} g_n (t) \le \sum_{n \in \{n' + 1, ...\}} 1 / 3 (2 / 3)^{n - 1} r = 1 / 3 r ((2 / 3)^{n'} + (2 / 3)^{n' + 1} + ...) = 1 / 3 r (2 / 3)^{n'} (1 + (2 / 3)^1 + ...) = 1 / 3 r (2 / 3)^{n'} 1 / (1 - 2 / 3) = r (2 / 3)^{n'}\)、そして、以下を満たす各\(\epsilon \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \epsilon\)に対して、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(r (2 / 3)^n \lt \epsilon\)、がある、\(t\)から独立して。
\(g\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のメトリックスペース（計量付き空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、当該コンバージェンス（収束マップ（写像））はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(f_n = f_{n - 1} - g_n \vert_C = f_{n - 2} - g_{n - 1} \vert_C - g_n \vert_C = ... = f_0 - g_1 \vert_C - ... - g_n \vert_C = f_0 - (g_1+ ... + g_n) \vert_C\)、したがって、\(lim_{n \to \infty} f_n = lim_{n \to \infty} f_0 - (g_1+ ... + g_n) \vert_C = f_0 - g \vert_C\)、しかし、\(lim_{n \to \infty} f_n = 0\)、なぜなら、\(f_n\)は\([0, (2 / 3)^n r]\)の中へのものである。
したがって、\(0 = f_0 - g \vert_C\)、したがって、\(g \vert_C = f_0\)。
ステップ6:
\(I = [r_1, r_2]\)である時、\(g + r_1: T \to [r_1, r_2] = I\)はコンティニュアス（連続）である、そして、\((g + r_1)\vert_C = (f_0 + r_1) = f\)、したがって、\(g + r_1\)は、本命題に対して要求されているあるものである。
そうでない時、\(g + r_1\)では十分でない、なぜなら、\(I \subset [r_1, r_2]\)である、そこで、それを是正しよう。
\(g - 1 / 2 r: T \to [-r / 2, r / 2]\)はコンティニュアス（連続）である、明らかに。
\(I = (r_1, r_2)\)である時、\(C' \subseteq T := (g - 1 / 2 r)^{-1} (\{- r / 2, r / 2\})\)、クローズド（閉）、を取ろう; \(I = (r_1, r_2]\)である時、\(C' \subseteq T := (g - 1 / 2 r)^{-1} (\{- r / 2\})\)、クローズド（閉）、を取ろう; \(I = [r_1, r_2)\)である時、\(C' \subseteq T := (g - 1 / 2 r)^{-1} (\{r / 2\})\)、クローズド（閉）、を取ろう。
\(C \cap C' = \emptyset\)、なぜなら、\(I = (r_1, r_2)\)である時、各\(c \in C\)に対して、\(f (c) \notin \{r_1, r_2\}\)および\((g - 1 / 2 r) (c) = (f_0 - 1 / 2 r) (c) = (f - r_1 - 1 / 2 r) (c) = f (c) - r_1 - 1 / 2 r \in (- 1 / 2 r, 1 / 2 r)\)、したがって、\((g - 1 / 2 r) (c) \notin \{- 1 / 2 r, 1 / 2 r\}\)、したがって、\(c \notin C'\); \(I = (r_1, r_2]\)である時、各\(c \in C\)に対して、\(f (c) \notin \{r_1\}\)および\((g - 1 / 2 r) (c) = (f_0 - 1 / 2 r) (c) = (f - r_1 - 1 / 2 r) (c) = f (c) - r_1 - 1 / 2 r \in (- 1 / 2 r, 1 / 2 r]\)、したがって、\((g - 1 / 2 r) (c) \notin \{- 1 / 2 r\}\)、したがって、\(c \notin C'\); \(I = [r_1, r_2)\)である時、各\(c \in C\)に対して、\(f (c) \notin \{r_2\}\)および\((g - 1 / 2 r) (c) = (f_0 - 1 / 2 r) (c) = (f - r_1 - 1 / 2 r) (c) = f (c) - r_1 - 1 / 2 r \in [- 1 / 2 r, 1 / 2 r)\)、したがって、\((g - 1 / 2 r) (c) \notin \{1 / 2 r\}\)、したがって、\(c \notin C'\)。
したがって、\(C' \subseteq T \setminus C\)。
以下を満たすあるコンティニュアス（連続）\(h: T \to [0, 1]\)、つまり、\(h (C') = \{0\} \land h (T \setminus (T \setminus C)) = h (C) = \{1\}\)、がある、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、任意のクローズドインターバル（閉区間）の中へのあるコンティニュアスマップ（連続写像）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を当該クローズドインターバル（閉区間）の任意のバウンダリー（境界）へ当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）を他のバウンダリー（境界）へマップするものがある（ユリソーンの補助定理）によって。
\(I = (r_1, r_2)\)である時、\((g - 1 / 2 r) h: T \to (-r / 2, r / 2)\)、なぜなら、各\(c' \in C'\)に対して、\((g - 1 / 2 r) h (c') = 0\); 各\(t \in T \setminus C'\)に対して、\((g - 1 / 2 r) (t) \in (-r / 2, r / 2)\); \(I = (r_1, r_2]\)である時、\((g - 1 / 2 r) h: T \to (-r / 2, r / 2]\)、なぜなら、各\(c' \in C'\)に対して、\((g - 1 / 2 r) h (c') = 0\); 各\(t \in T \setminus C'\)に対して、\((g - 1 / 2 r) (t) \in (-r / 2, r / 2]\); \(I = [r_1, r_2)\)である時、\((g - 1 / 2 r) h: T \to [-r / 2, r / 2)\)、なぜなら、各\(c' \in C'\)に対して、\((g - 1 / 2 r) h (c') = 0\); 各\(t \in T \setminus C'\)に対して、\((g - 1 / 2 r) (t) \in [-r / 2, r / 2)\)。
\((g - 1 / 2 r) h\)はコンティニュアス（連続）である、当該コンティニュアスマップ（連続写像）たちのプロダクトとして。
\(((g - 1 / 2 r) h) \vert_C = (g - 1 / 2 r) \vert_C\)。
\((g - 1 / 2 r) h + 1 / 2 r + r_1: T \to I\)、ここで、\(I = (r_1, r_2), (r_1, r_2], \text{ または } [r_1, r_2)\)、はコンティニュアス（連続）である。
\(((g - 1 / 2 r) h + 1 / 2 r + r_1) \vert_C = ((g - 1 / 2 r) h) \vert_C + 1 / 2 r + r_1 = (g - 1 / 2 r) \vert_C + 1 / 2 r + r_1 = f_0 - 1 / 2 r + 1 / 2 r + r_1 = f_0 + r_1 = f\)。
したがって、\((g - 1 / 2 r) h + 1 / 2 r + r_1\)は、本命題に対する要求たちを満たすあるものである。
ステップ7:
\(f\)は値バウンデッド（有界）でないと仮定しよう、それが意味するのは、\(r_1 = - \infty\)または\(r_2 = \infty\)であること。
ステップ8:
\(tan: (- \pi / 2, \pi / 2) \to (- \infty, \infty)\)を取ろう、それは、ある増加ホメオモーフィズム（位相同形写像）である、よく知られているとおり。
\(I = (- \infty, \infty)\)である時、\(tan^{-1} \circ f: C \to (- \pi / 2, \pi / 2)\)は値バウンデッド（有界）コンティニュアス（連続）である; \(I = (- \infty, r_2) \text{ または } (- \infty, r_2]\)である時、\(tan^{-1} \circ f: C \to (- \pi / 2, tan^{-1} (r_2)) \text{ または } (- \pi / 2, tan^{-1} (r_2)]\)は値バウンデッド（有界）コンティニュアス（連続）である; \(I = (r_1, \infty) \text{ または } [r_1, \infty)\)である時、\(tan^{-1} \circ f: C \to (tan^{-1} (r_1), \pi / 2) \text{ or } [tan^{-1} (r_1), \pi / 2)\)は値バウンデッド（有界）コンティニュアス（連続）である。
ステップ6によって、以下を満たすあるコンティニュアス（連続）\(g: T \to (- \pi / 2, \pi / 2), (- \pi / 2, tan^{-1} (r_2)), (- \pi / 2, tan^{-1} (r_2)], (tan^{-1} (r_1), \pi / 2), \text{ または } [tan^{-1} (r_1), \pi / 2)\)、つまり、\(g \vert_C = tan^{-1} \circ f\)、がある。
\(tan \circ g: T \to I\)、ここで、\(I = (- \infty, \infty), (- \infty, r_2), (- \infty, r_2], \text{ または } (r_1, \infty), [r_1, \infty)\)、はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(tan \circ g \vert_C = tan \circ tan^{-1} \circ f = f\)。
したがって、\(tan \circ g\)は、本命題に対する要求たちを満たすあるものである。
