片側または両側クローズドインターバル（閉区間）はオープンインターバル（開区間）たちのシーケンス（列）のインターセクション（共通集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアルナンバー（自然数）たちセット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の片側または両側クローズドインターバル（閉区間）は何らかのオープンインターバル（開区間）たちのシーケンス（列）のインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(I\): \(\in \{\text{ 全ての片側または両側クローズドインターバル（閉区間）たち }\}\), \(= (- \infty, r_2], (r_1, r_2], [r_1, \infty), [r_1, r_2), \text{ または } [r_1, r_2]\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((- \infty, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 + 2^{- n})\)
\(\land\)
\((r_1, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1, r_2 + 2^{- n})\)
\(\land\)
\([r_1, \infty) = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, \infty)\)
\(\land\)
\([r_1, r_2) = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2)\)
\(\land\)
\([r_1, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2 + 2^{- n}) = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} [r_1, r_2 + 2^{- n})\)
//
2: 注
\(\cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2]\)や\(\cap_{n \in \mathbb{N}} [r_1, r_2 + 2^{- n})\)は、本当のところ"何らかのオープンインターバル（開区間）たちのシーケンス（列）のインターセクション（共通集合）"ではないが、それらもここに含まれている、それらは時々使われるから。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \((- \infty, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 + 2^{- n})\)であることを見る; ステップ2: \((r_1, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1, r_2 + 2^{- n})\)であることを見る; ステップ3: \([r_1, \infty) = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, \infty)\)であることを見る; ステップ4: \([r_1, r_2) = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2)\)であることを見る; ステップ5: \([r_1, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2 + 2^{- n}) = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} [r_1, r_2 + 2^{- n})\)であることを見る。
ステップ1:
\((- \infty, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 + 2^{- n})\)であることを見よう。
\(r \in (- \infty, r_2]\)を任意のものとしよう。
各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(r \in (- \infty, r_2 + 2^{- n})\)。
したがって、\(r \in \cap_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 + 2^{- n})\)。
したがって、\((- \infty, r_2] \subseteq \cap_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 + 2^{- n})\)。
\(r \in \cap_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 + 2^{- n})\)を任意のものとしよう。
\(- \infty \lt r\)。
\(r_2 \lt r\)であったと仮定しよう。
以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r_2 + 2^{- n} \le r\)、があることになる、すると、\(r \notin (- \infty, r_2 + 2^{- n})\)、すると、\(r \notin \cap_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 + 2^{- n})\)、矛盾。
したがって、\(r \le r_2\)。
したがって、\(r \in (- \infty, r_2]\)。
したがって、\(\cap_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 + 2^{- n}) \subseteq (- \infty, r_2]\)。
したがって、\((- \infty, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 + 2^{- n})\)。
ステップ2:
\((r_1, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1, r_2 + 2^{- n})\)であることを見よう。
\(r \in (r_1, r_2]\)を任意のものとしよう。
各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(r \in (r_1, r_2 + 2^{- n})\)。
したがって、\(r \in \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1, r_2 + 2^{- n})\)。
したがって、\((r_1, r_2] \subseteq \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1, r_2 + 2^{- n})\)。
\(r \in \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1, r_2 + 2^{- n})\)を任意のものとしよう。
\(r_1 \lt r\)。
\(r_2 \lt r\)であったと仮定しよう。
以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r_2 + 2^{- n} \le r\)、があることになる、すると、\(r \notin (r_1, r_2 + 2^{- n})\)、すると、\(r \notin \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1, r_2 + 2^{- n})\)、矛盾。
したがって、\(r \le r_2\)。
したがって、\(r \in (r_1, r_2]\)。
したがって、\(\cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1, r_2 + 2^{- n}) \subseteq (r_1, r_2]\)。
したがって、\((r_1, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1, r_2 + 2^{- n})\)。
ステップ3:
\([r_1, \infty) = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, \infty)\)であることを見よう。
\(r \in [r_1, \infty)\)を任意のものとしよう。
各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(r \in (r_1 - 2^{- n}, \infty)\)。
したがって、\(r \in \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, \infty)\)。
したがって、\([r_1, \infty) \subseteq \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, \infty)\)。
\(r \in \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, \infty)\)を任意のものとしよう。
\(r \lt \infty\)。
\(r \lt r_1\)であったと仮定しよう。
以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r \le r_1 - 2^{- n}\)、があることになる、すると、\(r \notin (r_1 - 2^{- n}, \infty)\)、すると、\(r \notin \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, \infty)\)、矛盾。
したがって、\(r_1 \le r\)。
したがって、\(r \in [r_1, \infty)\)。
したがって、\(\cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, \infty) \subseteq [r_1, \infty)\)。
したがって、\([r_1, \infty) = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, \infty)\)。
ステップ4:
\([r_1, r_2) = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2)\)であることを見よう。
\(r \in [r_1, r_2)\)を任意のものとしよう。
各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(r \in (r_1 - 2^{- n}, r_2)\)。
したがって、\(r \in \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2)\)。
したがって、\([r_1, r_2) \subseteq \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2)\)。
\(r \in \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2)\)を任意のものとしよう。
\(r \lt r_2\)。
\(r \lt r_1\)であったと仮定しよう。
以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r \le r_1 - 2^{- n}\)、があることになる、すると、\(r \notin (r_1 - 2^{- n}, r_2)\)、すると、\(r \notin \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2)\)、矛盾。
したがって、\(r_1 \le r\)。
したがって、\(r \in [r_1, r_2)\)。
したがって、\(\cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2) \subseteq [r_1, r_2)\)。
したがって、\([r_1, r_2) = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2)\)。
ステップ5:
\([r_1, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2 + 2^{- n}) = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} [r_1, r_2 + 2^{- n})\)であることを見よう。
\(r \in [r_1, r_2]\)を任意のものとしよう。
各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(r \in (r_1 - 2^{- n}, r_2 + 2^{- n})\)。
したがって、\(r \in \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2 + 2^{- n})\)。
したがって、\([r_1, r_2] \subseteq \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2 + 2^{- n})\)。
\(r \in \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2 + 2^{- n})\)を任意のものとしよう。
\(r \lt r_1\)であったと仮定しよう。
以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r \le r_1 - 2^{- n}\)、があることになる、すると、\(r \notin (r_1 - 2^{- n}, r_2 + 2^{- n})\)、すると、\(r \notin \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2 + 2^{- n})\)、矛盾。
したがって、\(r_1 \le r\)。
\(r_2 \lt r\)であったと仮定しよう。
以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r_2 + 2^{- n} \le r\)、があることになる、すると、\(r \notin (r_1 - 2^{- n}, r_2 + 2^{- n})\)、すると、\(r \notin \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2 + 2^{- n})\)、矛盾。
したがって、\(r \le r_2\)。
したがって、\(r \in [r_1, r_2]\)。
したがって、\(\cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2 + 2^{- n}) \subseteq [r_1, r_2]\)。
したがって、\([r_1, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2 + 2^{- n})\)。
\(r \in [r_1, r_2]\)を任意のものとしよう。
各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(r \in (r_1 - 2^{- n}, r_2]\)。
したがって、\(r \in \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2]\)。
したがって、\([r_1, r_2] \subseteq \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2]\)。
\(r \in \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2]\)を任意のものとしよう。
\(r \lt r_1\)であったと仮定しよう。
以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r \le r_1 - 2^{- n}\)、があることになる、すると、\(r \notin (r_1 - 2^{- n}, r_2]\)、すると、\(r \notin \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2]\)、矛盾。
したがって、\(r_1 \le r\)。
\(r \le r_2\)。
したがって、\(r \in [r_1, r_2]\)。
したがって、\(\cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2] \subseteq [r_1, r_2]\)。
したがって、\([r_1, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} (r_1 - 2^{- n}, r_2]\)。
\(r \in [r_1, r_2]\)を任意のものとしよう。
各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(r \in [r_1, r_2 + 2^{- n})\)。
したがって、\(r \in \cap_{n \in \mathbb{N}} [r_1, r_2 + 2^{- n})\)。
したがって、\([r_1, r_2] \subseteq \cap_{n \in \mathbb{N}} [r_1, r_2 + 2^{- n})\)。
\(r \in \cap_{n \in \mathbb{N}} [r_1, r_2 + 2^{- n})\)を任意のものとしよう。
\(r_1 \le r\)。
\(r_2 \lt r\)であったと仮定しよう。
以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r_2 + 2^{- n} \le r\)、があることになる、すると、\(r \notin [r_1, r_2 + 2^{- n})\)、すると、\(r \notin \cap_{n \in \mathbb{N}} [r_1, r_2 + 2^{- n})\)、矛盾。
したがって、\(r \le r_2\)。
したがって、\(r \in [r_1, r_2]\)。
したがって、\(\cap_{n \in \mathbb{N}} [r_1, r_2 + 2^{- n}) \subseteq [r_1, r_2]\)。
したがって、\([r_1, r_2] = \cap_{n \in \mathbb{N}} [r_1, r_2 + 2^{- n})\)。
