片側または両側オープンインターバル（開区間）はクローズドインターバル（閉区間）たちのシーケンス（列）のユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアルナンバー（自然数）たちセット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の片側または両側オープンインターバル（開区間）は何らかのクローズドインターバル（閉区間）たちのシーケンス（列）のユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(I\): \(\in \{\text{ 全ての片側または量オープンインターバル（開区間）たち }\}\), \(= (- \infty, r_2), [r_1, r_2), (r_1, \infty), (r_1, r_2], (- \infty, \infty), \text{ または } (r_1, r_2)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((- \infty, r_2) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{- n, r_2 - 2^{- n}\}), r_2 - 2^{- n}] = \cup_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 - 2^{- n}]\)
\(\land\)
\([r_1, r_2) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1, Max (\{r_1, r_2 - 2^{- n}\})]\)
\(\land\)
\((r_1, \infty) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, Max (\{n, r_1 + 2^{- n}\})] = \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, \infty)\)
\(\land\)
\((r_1, r_2] = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, r_2\}), r_2]\)
\(\land\)
\((- \infty, \infty) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [- n, n]\)
\(\land\)
\((r_1, r_2) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})] = \cup_{n \in \mathbb{N}} (r_1, Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})] = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), r_2)\)
//
2: 注
\(\cup_{n \in \mathbb{N}} (r_1, Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})]\)や\(\cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), r_2)\)は、本当のところ"何らかのクローズドインターバル（閉区間）たちのシーケンス（列）のユニオン（和集合）"でないが、それらはここに含まれている、それらは時々使われるから。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \((- \infty, r_2) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{- n, r_2 - 2^{- n}\}), r_2 - 2^{- n}] = \cup_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 - 2^{- n}]\)であることを見る; ステップ2: \([r_1, r_2) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1, Max (\{r_1, r_2 - 2^{- n}\})]\)であることを見る; ステップ3; \((r_1, \infty) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, Max (\{n, r_1 + 2^{- n}\})] = \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, \infty)\)であることを見る; ステップ4: \((r_1, r_2] = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, r_2\}), r_2]\)であることを見る; ステップ5: \((- \infty, \infty) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [- n, n]\)であることを見る; ステップ6: \((r_1, r_2) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})] = \cup_{n \in \mathbb{N}} (r_1, Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})] = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), r_2)\)であることを見る。
ステップ1:
\([Min (\{- n, r_2 - 2^{- n}\}), r_2 - 2^{- n}]\)は妥当である、各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、なぜなら、\(Min (\{- n, r_2 - 2^{- n}\}) \le r_2 - 2^{- n}\)。
\((- \infty, r_2) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{- n, r_2 - 2^{- n}\}), r_2 - 2^{- n}] = \cup_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 - 2^{- n}]\)であることを見よう。
\(r \in (- \infty, r_2)\)であることを見よう。
以下を満たすある\(N_1 \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_1 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(Min (\{- n, r_2 - 2^{- n}\}) \le - n \le r\)、がある。
\(r \lt r_2\)であり、以下を満たすある\(N_2 \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_2 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(r \le r_2 - 2^{- n}\)、がある。
したがって、\(N_1, N_2 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(Min (\{- n, r_2 - 2^{- n}\}) \le r \le r_2 - 2^{- n}\)、したがって、\(r \in [Min (\{- n, r_2 - 2^{- n}\}), r_2 - 2^{- n}]\)。
したがって、\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{- n, r_2 - 2^{- n}\}), r_2 - 2^{- n}]\)。
したがって、\((- \infty, r_2) \subseteq \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{- n, r_2 - 2^{- n}\}), r_2 - 2^{- n}]\)。
\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{- n, r_2 - 2^{- n}\}), r_2 - 2^{- n}]\)を任意のものとしよう。
\(r \in [Min (\{- n, r_2 - 2^{- n}\}), r_2 - 2^{- n}]\)、ある\(n \in \mathbb{N}\)に対して。
したがって、\(r \in [Min (\{- n, r_2 - 2^{- n}\}), r_2 - 2^{- n}] \subseteq (- \infty, r_2)\)。
したがって、\(\cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{- n, r_2 - 2^{- n}\}), r_2 - 2^{- n}] \subseteq (- \infty, r_2)\)。
したがって、\((- \infty, r_2) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{- n, r_2 - 2^{- n}\}), r_2 - 2^{- n}]\)。
\(r \in (- \infty, r_2)\)を任意のものとしよう。
\(- \infty \lt r\)。
\(r \lt r_2\)であるから、以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r \le r_2 - 2^{- n}\)、がある。
したがって、\(r \in (- \infty, r_2 - 2^{- n}]\)。
したがって、\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 - 2^{- n}]\)。
したがって、\((- \infty, r_2) \subseteq \cup_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 - 2^{- n}]\)。
\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 - 2^{- n}]\)を任意のものとしよう。
\(r \in (- \infty, r_2 - 2^{- n}]\)、ある\(n \in \mathbb{N}\)に対して。
\(r \in (- \infty, r_2 - 2^{- n}] \subseteq (- \infty, r_2)\)。
したがって、\(\cup_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 - 2^{- n}] \subseteq (- \infty, r_2)\)。
したがって、\((- \infty, r_2) = \cup_{n \in \mathbb{N}} (- \infty, r_2 - 2^{- n}]\)。
ステップ2:
\([r_1, Max (\{r_1, r_2 - 2^{- n}\})]\)は妥当である、各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、なぜなら、\(r_1 \le Max (\{r_1, r_2 - 2^{- n}\})\)。
\([r_1, r_2) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1, Max (\{r_1, r_2 - 2^{- n}\})]\)であることを見よう。
\(r \in [r_1, r_2)\)を任意のものとしよう。
\(r_1 \le r\)。
\(r \lt r_2\)であり、以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r \le r_2 - 2^{- n}\)、がある、すると、\(r \le r_2 - 2^{- n} \le Max (\{r_1, r_2 - 2^{- n}\})\)。
したがって、\(r \in [r_1, Max (\{r_1, r_2 - 2^{- n}\})]\)。
したがって、\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1, Max (\{r_1, r_2 - 2^{- n}\})]\)。
したがって、\([r_1, r_2) \subseteq \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1, Max (\{r_1, r_2 - 2^{- n}\})]\)。
\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1, Max (\{r_1, r_2 - 2^{- n}\})]\)を任意のものとしよう。
\(r \in [r_1, Max (\{r_1, r_2 - 2^{- n}\})]\)、ある\(n \in \mathbb{N}\)に対して。
したがって、\(r \in [r_1, Max (\{r_1, r_2 - 2^{- n}\})] \subseteq [r_1, r_2)\)、なぜなら、\(r_1 \lt r_2\)および\(r_2 - 2^{- n} \lt r_2\)。
したがって、\(\cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1, Max (\{r_1, r_2 - 2^{- n}\})] \subseteq [r_1, r_2)\)。
したがって、\([r_1, r_2) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1, Max (\{r_1, r_2 - 2^{- n}\})]\)。
ステップ3:
\([r_1 + 2^{- n}, Max (\{n, r_1 + 2^{- n}\})]\)は妥当である、各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、なぜなら、\(r_1 + 2^{- n} \le Max (\{n, r_1 + 2^{- n}\})\)。
\((r_1, \infty) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, Max (\{n, r_1 + 2^{- n}\})] = \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, \infty)\)であることを見よう。
\(r \in (r_1, \infty)\)を任意のものとしよう。
\(r_1 \lt r\)であり、以下を満たすある\(N_1 \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_1 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(r_1 + 2^{- n} \le r\)、がある。
以下を満たすある\(N_2 \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_2 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(r \le n \le Max (\{n, r_1 + 2^{- n}\})\)、がある。
したがって、\(N_1, N_2 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(r_1 + 2^{- n} \le r \le Max (\{n, r_1 + 2^{- n}\})\)、したがって、\(r \in [r_1 + 2^{- n}, Max (\{n, r_1 + 2^{- n}\})]\)。
したがって、\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, Max (\{n, r_1 + 2^{- n}\})]\)。
したがって、\((r_1, \infty) \subseteq \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, Max (\{n, r_1 + 2^{- n}\})]\)。
\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, Max (\{n, r_1 + 2^{- n}\})]\)を任意のものとしよう。
\(r \in [r_1 + 2^{- n}, Max (\{n, r_1 + 2^{- n}\})]\)、ある\(n \in \mathbb{N}\)に対して。
したがって、\(r \in [r_1 + 2^{- n}, Max (\{n, r_1 + 2^{- n}\})] \subseteq (r_1, \infty)\)。
したがって、\(\cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, Max (\{n, r_1 + 2^{- n}\})] \subseteq (r_1, \infty)\)。
したがって、\((r_1, \infty) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, Max (\{n, r_1 + 2^{- n}\})]\)。
\(r \in (r_1, \infty)\)を任意のものとしよう。
\(r \lt \infty\)。
\(r_1 \lt r\)であるから、以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r_1 + 2^{- n} \le r\)、がある。
したがって、\(r \in [r_1 + 2^{- n}, \infty)\)。
したがって、\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, \infty)\)。
したがって、\((r_1, \infty) \subseteq \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, \infty)\)。
\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, \infty)\)を任意のものとしよう。
\(r \in [r_1 + 2^{- n}, \infty)\)、ある\(n \in \mathbb{N}\)に対して。
\(r \in [r_1 + 2^{- n}, \infty) \subseteq (r_1, \infty)\)。
したがって、\(\cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, \infty) \subseteq (r_1, \infty)\)。
したがって、\((r_1, \infty) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [r_1 + 2^{- n}, \infty)\)。
ステップ4:
\((r_1, r_2] = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, r_2\}), r_2]\)であることを見よう。
\(r \in (r_1, r_2]\)を任意のものとしよう。
\(r_1 \lt r\)であり、以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r_1 + 2^{- n} \le r\)、がある、すると、\(Min (\{r_1 + 2^{- n}, r_2\}) \le r_1 + 2^{- n} \le r\)。
\(r \le r_2\)。
したがって、\(r \in [Min (\{r_1 + 2^{- n}, r_2\}), r_2]\)。
したがって、\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, r_2\}), r_2]\)。
したがって、\((r_1, r_2] \subseteq \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, r_2\}), r_2]\)。
\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, r_2\}), r_2]\)を任意のものとしよう。
\(r \in [Min (\{r_1 + 2^{- n}, r_2\}), r_2]\)、ある\(n \in \mathbb{N}\)に対して。
したがって、\(r \in [Min (\{r_1 + 2^{- n}, r_2\}), r_2] \subseteq (r_1, r_2]\)、なぜなら、\(r_1 \lt r_1 + 2^{- n}\)および\(r_1 \lt r_2\)。
したがって、\(\cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, r_2\}), r_2] \subseteq (r_1, r_2]\)。
したがって、\((r_1, r_2] = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, r_2\}), r_2]\)。
ステップ5:
\((- \infty, \infty) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [- n, n]\)であることを見よう。
\(r \in (- \infty, \infty)\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r \in [- n, n]\)、がある。
したがって、\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [- n, n]\)。
したがって、\((- \infty, \infty) \subseteq \cup_{n \in \mathbb{N}} [- n, n]\)。
\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [- n, n]\)を任意のものとしよう。
\(r \in [- n, n]\)、ある\(n \in \mathbb{N}\)に対して。
したがって、\(r \in [- n, n] \subseteq (- \infty, \infty)\)。
したがって、\(\cup_{n \in \mathbb{N}} [- n, n] \subseteq (- \infty, \infty)\)。
したがって、\((- \infty, \infty) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [- n, n]\)。
ステップ6:
\([Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})]\)は妥当である、各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、なぜなら、\(Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}) \le (r_1 + r_2) / 2 \le Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})\)。
\((r_1, Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2]\)は妥当である、各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、なぜなら、\(r_1 \lt (r_1 + r_2) / 2 \le Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2)\)。
\(\cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), r_2)\)は妥当である、各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、なぜなら、\(Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}) \le (r_1 + r_2) / 2 \lt r_2\)。
\((r_1, r_2) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})] = \cup_{n \in \mathbb{N}} (r_1, Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})] = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), r_2)\)であることを見よう。
\(r \in (r_1, r_2)\)を任意のものとしよう。
\(r_1 \lt r\)であり、以下を満たすある\(N_1 \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_1 \lt n\) を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(r_1 + 2^{- n} \le r\)、がある、すると、\(Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}) \le r_1 + 2^{- n} \le r\)。
\(r \lt r_2\)であり、以下を満たすある\(N_2 \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_2 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(r \le r_2 - 2^{- n}\)、がある、すると、\(r \le r_2 - 2^{- n} \le Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})\)。
\(N_1, N_2 \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}) \le r \le Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})\)、したがって、\(r \in [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})]\)。
したがって、\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})]\)。
したがって、\((r_1, r_2) \subseteq \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})]\)。
\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})]\)を任意のものとしよう。
\(r \in [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})]\)、ある\(N \in \mathbb{N}\)に対して。
\(r \in [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})] \subseteq (r_1, r_2)\)、なぜなら、\(r_1 \lt r_1 + 2^{- n}\)および\(r_1 \lt (r_1 + r_2) / 2\)および\(r_2 - 2^{- n} \lt r_2\)および\((r_1 + r_2) / 2 \lt r_2\)。
したがって、\(\cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})] \subseteq (r_1, r_2)\)。
したがって、\((r_1, r_2) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})]\)。
\(r \in (r_1, r_2)\)を任意のものとしよう。
\(r_1 \lt r\)。
\(r \lt r_2\)であり、以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r \le r_2 - 2^{- n}\)、がある、すると、\(r \le r_2 - 2^{- n} \le Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})\)。
したがって、\(r \in (r_1, Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})]\)。
したがって、\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} (r_1, Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})]\)。
したがって、\((r_1, r_2) \subseteq \cup_{n \in \mathbb{N}} (r_1, Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})]\)。
\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} (r_1, Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})]\)を任意のものとしよう。
\(r \in (r_1, Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})]\)、ある\(n \in \mathbb{N}\)に対して。
\(r \in (r_1, Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})] \subseteq (r_1, r_2)\)、なぜなら、\(r_2 - 2^{- n} \lt r_2\)および\((r_1 + r_2) / 2 \lt r_2\)。
したがって、\(\cup_{n \in \mathbb{N}} (r_1, Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})] \subseteq (r_1, r_2)\)。
したがって、\((r_1, r_2) = \cup_{n \in \mathbb{N}} (r_1, Max (\{r_2 - 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\})]\)。
\(r \in (r_1, r_2)\)を任意のものとしよう。
\(r_1 \lt r\)であり、以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}) \le r_1 + 2^{- n} \le r\)、がある。
\(r \lt r_2\)。
したがって、\(r \in [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), r_2)\)。
したがって、\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), r_2)\)。
したがって、\((r_1, r_2) \subseteq \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), r_2)\)。
\(r \in \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), r_2)\)を任意のものとしよう。
\(r \in [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), r_2)\)、ある\(n \in \mathbb{N}\)に対して。
\(r \in [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), r_2) \subseteq (r_1, r_2)\)、なぜなら、\(r_1 \lt r_1 + 2^{- n}\)および\(r_1 \lt (r_1 + r_2) / 2\)。
したがって、\(\cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), r_2) \subseteq (r_1, r_2)\)。
したがって、\((r_1, r_2) = \cup_{n \in \mathbb{N}} [Min (\{r_1 + 2^{- n}, (r_1 + r_2) / 2\}), r_2)\)。
