\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、上方オープン（開）またはクローズド（閉）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、下方オープン（開）またはクローズド（閉）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、下方オープン（開）またはクローズド（閉）上方オープン（開）またはクローズド（閉）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）のいずれかによって生成されることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）の、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、任意の片側または両側クローズドインターバル（閉区間）は何らかのオープンインターバル（開区間）たちのシーケンス（列）のインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、有理中心と有理半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）はベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちを認めている。
- 読者は、任意の片側または両側オープンインターバル（開区間）は何らかのクローズドインターバル（閉区間）たちのシーケンス（列）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、全ての上方オープン（開）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての上方クローズド（閉）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方オープン（開）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方クローズド（閉）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方オープン（開）上方オープン（開）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方オープン（開）上方クローズド（閉）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方クローズド（閉）上方オープン（開）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方クローズド（閉）上方クローズド（閉）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）のいずれかによって生成されるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、当該トポロジー\(O\)を持つもの
\(S_1\): \(= \{(- \infty, r) \subseteq \mathbb{R} \vert r \in \mathbb{R}\}\)
\(S_2\): \(= \{(- \infty, r] \subseteq \mathbb{R} \vert r \in \mathbb{R}\}\)
\(S_3\): \(= \{(r, \infty) \subseteq \mathbb{R} \vert r \in \mathbb{R}\}\)
\(S_4\): \(= \{[r, \infty) \subseteq \mathbb{R} \vert r \in \mathbb{R}\}\)
\(S_5\): \(= \{(r_1, r_2) \subseteq \mathbb{R} \vert r_1, r_2 \in \mathbb{R} \text{ で、以下を満たすものたち、つまり、 } r_1 \lt r_2\}\)
\(S_6\): \(= \{(r_1, r_2] \subseteq \mathbb{R} \vert r_1, r_2 \in \mathbb{R} \text{ で、以下を満たすものたち、つまり、 } r_1 \lt r_2\}\)
\(S_7\): \(= \{[r_1, r_2) \subseteq \mathbb{R} \vert r_1, r_2 \in \mathbb{R} \text{ で、以下を満たすものたち、つまり、 } r_1 \lt r_2\}\)
\(S_8\): \(= \{[r_1, r_2] \subseteq \mathbb{R} \vert r_1, r_2 \in \mathbb{R} \text{ で、以下を満たすものたち、つまり、 } r_1 \le r_2\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_1) = \sigma (S_2) = \sigma (S_3) = \sigma (S_4) = \sigma (S_5) = \sigma (S_6) = \sigma (S_7) = \sigma (S_8)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(B (\mathbb{R}) = \sigma (O)\)であることを見る; ステップ2: \(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_1)\)であることを見る; ステップ3: \(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_2)\)であることを見る; ステップ4: \(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_3)\)であることを見る; ステップ5: \(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_4)\)であることを見る; ステップ6: \(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_5)\)であることを見る; ステップ7: \(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_6)\)であることを見る; ステップ8: \(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_7)\)であることを見る; ステップ9: \(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_8)\)であることを見る。
ステップ1:
\(B (\mathbb{R}) = \sigma (O)\)、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義によって。
一般に、サブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、当該サブセット（部分集合）たちのセット（集合）を包含する全ての\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのインターセクション（共通集合）である、セット（集合）の、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義に対する"注"によって。
したがって、もしも、何らかのサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）\(S\)が任意の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）\(A\)内に包含される、それが意味するのは、\(S \subseteq A\)、場合、\(\sigma (S) \subseteq A\)、それを、私たちは、これ以降、明示的に言及することなく使う。
ステップ2:
\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_1)\)であることを見よう。
各\((- \infty, r) \in S_1\)に対して、\((- \infty, r) \in O\)、したがって、\((- \infty, r) \in \sigma (O)\)。
したがって、\(S_1 \subseteq \sigma (O)\)。
したがって、\(\sigma (S_1) \subseteq \sigma (O)\)。
各\(r \in \mathbb{R}\)に対して、\((- \infty, r] \in \sigma (S_1)\)、任意の片側または両側クローズドインターバル（閉区間）は何らかのオープンインターバル（開区間）たちのシーケンス（列）のインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
各\(r \in \mathbb{R}\)に対して、\((r, \infty) = \mathbb{R} \setminus (- \infty, r] \in \sigma (S_1)\)。
したがって、\(r_1 \lt r_2\)を満たす各\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)に対して、\((r_1, r_2) = (- \infty, r_2) \cap (r_1, \infty) \in \sigma (S_1)\)。
すると、\(\mathbb{R}\)上における各オープンボール（開球）でラショナル（有理）中心およびラショナル（有理）半径を持つものは、\(\sigma (S_1)\)内にある、なぜなら、それは\((r_1, r_2)\)である。
各\(U \in O\)は、何らかのオープンボール（開球）たちでラショナル（有理）中心たちおよびラショナル（有理）半径たちを持つものたちのユニオン（和集合）である、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、有理中心と有理半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）はベーシス（基底）であるという命題およびオープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちの"記述1"によって。
当該ベーシス（基底）はカウンタブル（可算）であるから、\(U \in \sigma (S_1)\)。
したがって、\(O \subseteq \sigma (S_1)\)。
したがって、\(\sigma (O) \subseteq \sigma (S_1)\)。
したがって、\(\sigma (O) = \sigma (S_1)\)。
したがって、\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_1)\)。
ステップ3:
\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_2)\)であることを見よう。
各\((- \infty, r] \in S_2\)に対して、\((- \infty, r] \in \sigma (S_1)\)、任意の片側または両側クローズドインターバル（閉区間）は何らかのオープンインターバル（開区間）たちのシーケンス（列）のインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
したがって、\(S_2 \subseteq \sigma (S_1)\)。
したがって、\(\sigma (S_2) \subseteq \sigma (S_1)\)。
各\((- \infty, r) \in S_1\)に対して、\((- \infty, r) \in \sigma (S_2)\)、任意の片側または両側オープンインターバル（開区間）は何らかのクローズドインターバル（閉区間）たちのシーケンス（列）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、\(S_1 \subseteq \sigma (S_2)\)。
したがって、\(\sigma (S_1) \subseteq \sigma (S_2)\)。
したがって、\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_1) = \sigma (S_2)\)。
ステップ4:
\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_3)\)であることを見よう。
各\((r, \infty) \in S_3\)に対して、\((r, \infty) \in O\)、したがって、\((r, \infty) \in \sigma (O)\)。
したがって、\(S_3 \subseteq \sigma (O)\)。
したがって、\(\sigma (S_3) \subseteq \sigma (O)\)。
各\(r \in \mathbb{R}\)に対して、\([r, \infty) \in \sigma (S_3)\)、任意の片側または両側クローズドインターバル（閉区間）は何らかのオープンインターバル（開区間）たちのシーケンス（列）のインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
各\(r \in \mathbb{R}\)に対して、\((- \infty, r) = \mathbb{R} \setminus [r, \infty) \in \sigma (S_3)\)。
したがって、\(r_1 \lt r_2\)を満たす各\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)に対して、\((r_1, r_2) = (- \infty, r_2) \cap (r_1, \infty) \in \sigma (S_3)\)。
すると、\(\mathbb{R}\)上における各オープンボール（開球）でラショナル（有理）中心およびラショナル（有理）半径を持つものは\(\sigma (S_3)\)内にある、なぜなら、それは\((r_1, r_2)\)である。
各\(U \in O\)は、何らかのオープンボール（開球）たちでラショナル（有理）中心たちおよびラショナル（有理）半径たちを持つものたちのユニオン（和集合）である、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、有理中心と有理半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）はベーシス（基底）であるという命題およびオープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちの"記述1"によって。
当該ベーシス（基底）はカウンタブル（可算）であるので、\(U \in \sigma (S_3)\)。
したがって、\(O \subseteq \sigma (S_3)\)。
したがって、\(\sigma (O) \subseteq \sigma (S_3)\)。
したがって、\(\sigma (O) = \sigma (S_3)\)。
したがって、\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_3)\)。
ステップ5:
\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_4)\)であることを見よう。
各\([r, \infty) \in S_4\)に対して、\([r, \infty) \in \sigma (S_3)\)、任意の片側または両側クローズドインターバル（閉区間）は何らかのオープンインターバル（開区間）たちのシーケンス（列）のインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
したがって、\(S_4 \subseteq \sigma (S_3)\)。
したがって、\(\sigma (S_4) \subseteq \sigma (S_3)\)。
各\((r, \infty) \in S_3\)に対して、\((r, \infty) \in \sigma (S_4)\)、任意の片側または両側オープンインターバル（開区間）は何らかのクローズドインターバル（閉区間）たちのシーケンス（列）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、\(S_3 \subseteq \sigma (S_4)\)。
したがって、\(\sigma (S_3) \subseteq \sigma (S_4)\)。
したがって、\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_3) = \sigma (S_4)\)。
ステップ6:
\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_5)\)であることを見よう。
各\((r_1, r_2) \in S_5\)に対して、\((r_1, r_2) \in O\)、したがって、\((r_1, r_2) \in \sigma (O)\)。
したがって、\(S_5 \subseteq \sigma (O)\)。
したがって、\(\sigma (S_5) \subseteq \sigma (O)\)。
\(\mathbb{R}\)上における各オープンボール（開球）でラショナル（有理）中心およびラショナル（有理）半径を持つものは\(\sigma (S_5)\)内にある、なぜなら、それは\((r_1, r_2)\)である。
各\(U \in O\)は、何らかのオープンボール（開球）たちでラショナル（有理）中心たちおよびラショナル（有理）半径たちを持つものたちのユニオン（和集合）である、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、有理中心と有理半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）はベーシス（基底）であるという命題およびオープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちの"記述1"によって。
当該ベーシス（基底）はカウンタブル（可算）であるから、\(U \in \sigma (S_5)\)。
したがって、\(O \subseteq \sigma (S_5)\)。
したがって、\(\sigma (O) \subseteq \sigma (S_5)\)。
したがって、\(\sigma (O) = \sigma (S_5)\)。
したがって、\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_5)\)。
ステップ7:
\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_6)\)であることを見よう。
各\((r_1, r_2] \in S_6\)に対して、\((r_1, r_2] \in \sigma (S_5)\)、任意の片側または両側クローズドインターバル（閉区間）は何らかのオープンインターバル（開区間）たちのシーケンス（列）のインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
したがって、\(S_6 \subseteq \sigma (S_5)\)。
したがって、\(\sigma (S_6) \subseteq \sigma (S_5)\)。
各\((r_1, r_2) \in S_5\)に対して、\((r_1, r_2) \in \sigma (S_6)\)、任意の片側または両側オープンインターバル（開区間）は何らかのクローズドインターバル（閉区間）たちのシーケンス（列）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、\(S_5 \subseteq \sigma (S_6)\)。
したがって、\(\sigma (S_5) \subseteq \sigma (S_6)\)。
したがって、\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_5) = \sigma (S_6)\)。
ステップ8:
\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_7)\)であることを見よう。
各\([r_1, r_2) \in S_7\)に対して、\([r_1, r_2) \in \sigma (S_5)\)、任意の片側または両側クローズドインターバル（閉区間）は何らかのオープンインターバル（開区間）たちのシーケンス（列）のインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
したがって、\(S_7 \subseteq \sigma (S_5)\)。
したがって、\(\sigma (S_7) \subseteq \sigma (S_5)\)。
各\((r_1, r_2) \in S_5\)に対して、\((r_1, r_2) \in \sigma (S_7)\)、任意の片側または両側オープンインターバル（開区間）は何らかのクローズドインターバル（閉区間）たちのシーケンス（列）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、\(S_5 \subseteq \sigma (S_7)\)。
したがって、\(\sigma (S_5) \subseteq \sigma (S_7)\)。
したがって、\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_5) = \sigma (S_7)\)。
ステップ9:
\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_8)\)であることを見よう。
各\([r_1, r_2] \in S_8\)に対して、\([r_1, r_2] \in \sigma (S_5)\)、任意の片側または両側クローズドインターバル（閉区間）は何らかのオープンインターバル（開区間）たちのシーケンス（列）のインターセクション（共通集合）であるという命題によって。
したがって、\(S_8 \subseteq \sigma (S_5)\)。
したがって、\(\sigma (S_8) \subseteq \sigma (S_5)\)。
各\((r_1, r_2) \in S_5\)に対して、\((r_1, r_2) \in \sigma (S_8)\)、任意の片側または両側オープンインターバル（開区間）は何らかのクローズドインターバル（閉区間）たちのシーケンス（列）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、\(S_5 \subseteq \sigma (S_8)\)。
したがって、\(\sigma (S_5) \subseteq \sigma (S_8)\)。
したがって、\(B (\mathbb{R}) = \sigma (S_5) = \sigma (S_8)\)。
