\(1\)-増加のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）たちの\(1\)より大きいナチュラルナンバー（自然数）のマイナス乗たちのシリーズ（級数）はこれより小さくコンバージ（収束）することの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-増加のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）たちの\(1\)より大きい任意のナチュラルナンバー（自然数）のマイナス乗たちの任意のシリーズ（級数）はこれより小さくコンバージ（収束）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(l\): \(\in \mathbb{N}\)で、\(0 \lt l\)を満たすもの
\(n\): \(\in \mathbb{N}\)で、\(1 \lt n\)を満たすもの
\(s\): \(= \sum_{j \in \{l, l + 1, ...\}} j^{- n}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(s \lt l^{- n} (n - 1 + l) / (n - 1) \le l^{- n + 1} n / (n - 1)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \((j + 1)^{- n} \lt \int^{j + 1}_j x^{- n} d x\)であることを見る; ステップ2: \(s \lt l^{- n} + \int^{\infty}_l x^{- n} d x\)であることを見る; ステップ3: \(l^{- n} + \int^{\infty}_l x^{- n} d x = l^{- n} (n - 1 + l) / (n - 1) \le l^{- n + 1} n / (n - 1)\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(j \in \mathbb{N}\)を、\(1 \le j\)を満たす任意のものとしよう。
\([j, j + 1] \subseteq \mathbb{R}\)上方で、\((j + 1)^{- n} \le x^{- n}\)、なぜなら、\(x^{- n}: [1, \infty) \to \mathbb{R}\)は減少である一方、\((j + 1)^{- n} \le (j + 1)^{- n}\)。
したがって、\(\int^{j + 1}_j (j + 1)^{- n} d x \le \int^{j + 1}_j x^{- n} d x\)。
しかし、左辺は、\((j + 1)^{- n}\)である。
したがって、\((j + 1)^{- n} \lt \int^{j + 1}_j x^{- n} d x\)。
ステップ2:
\(s = \sum_{j \in \{l, l + 1, ...\}} j^{- n} = l^{- n} + \sum_{j \in \{l + 1, l + 2, ...\}} j^{- n} = l^{- n} + \sum_{j \in \{l, l + 1, ...\}} (j + 1)^{- n} \lt l^{- n} + \sum_{j \in \{l, l + 1, ...\}} \int^{j + 1}_j x^{- n} d x\)、なぜなら、\(1 \le l\)であるから、\(1 \le j\)、\(= l^{- n} + \int^{\infty}_l x^{- n} d x\)。
ステップ3:
\(l^{- n} + \int^{\infty}_l x^{- n} d x = l^{- n} + [1 / (- n + 1) x^{- n + 1}]^{\infty}_l = l^{- n} + (1 / (- n + 1) {\infty}^{- n + 1} - 1 / (- n + 1) l^{- n + 1}) = l^{- n} + (0 - 1 / (- n + 1) l^{- n + 1}) = l^{- n} - 1 / (- n + 1) l^{- n + 1} = l^{- n} (1 - 1 / (- n + 1) l) = l^{- n} ((- n + 1) / (- n + 1) - 1 / (- n + 1) l) = l^{- n} (- n + 1 - l) / (- n + 1) = l^{- n} (n - 1 + l) / (n - 1)\)。
\(n - 1 + l \le n l\)、なぜなら、\(l = 1\)である時、\(n = n - 1 + 1 \le n 1 = n\)、そして、\(l\)が\(1\)毎増加する時、左辺は\(1\)毎増加するところ、右辺は\(n\)毎増加する。
したがって、\(l^{- n} (n - 1 + l) / (n - 1) \le l^{- n} n l / (n - 1) = l^{- n + 1} n / (n - 1)\)。
ステップ4:
したがって、\(s \lt l^{- n} (n - 1 + l) / (n - 1) \le l^{- n + 1} n / (n - 1)\)。
