アジャンクショントポロジカルスペース（空間）はパスコネクテッド（連結された）である、もしも、アタッチングマップ（写像）のドメイン（定義域）が非空でアタッチング元スペース（空間）およびアタッチング先スペース（空間）がパスコネクテッド（連結された）である場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）をマップ（写像）を介してトポロジカルスペース（空間）へアタッチして得られたアジャンクショントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、パスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルサムに対して、各構成要素は当該トポロジカルサムのトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアジャンクショントポロジカルスペース（空間）はパスコネクテッド（連結された）である、もしも、アタッチングマップ（写像）のドメイン（定義域）が非空でアタッチング元スペース（空間）およびアタッチング先スペース（空間）がパスコネクテッド（連結された）である場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T_1\)で、\(S \neq \emptyset\)を満たすもの
\(f\): \(: S \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(T_1 + T_2\): \(= \text{ 当該トポロジカルサム }\)
\(T_2 \cup_f T_1\): \(= \text{ 当該アジャンクショントポロジカルスペース（空間） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T_2 \cup_f T_1 \in \{\text{ 全てのパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(g \vert_{T_1}: T_1 \to T_2 \cup_f T_1\)および\(g \vert_{T_2}: T_2 \to T_2 \cup_f T_1\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ2: 各\(t, t' \in T_2 \cup_f T_1\)に対して、\(3\)個の排他的でないケースたちがあることを見る; ステップ3: ケース1)に対処する; ステップ4: ケース2)に対処する; ステップ5: ケース3)に対処する; ステップ6: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(g: T_1 + T_2 \to T_2 \cup_f T_1\)を、トポロジカルスペース（空間）をマップ（写像）を介してトポロジカルスペース（空間）へアタッチして得られたアジャンクショントポロジカルスペース（空間）の定義内で定義されているものとしよう。
\(g\)はコンティニュアス（連続）である: \(T_2 \cup_f T_1\)のトポロジーは、\(g\)をコンティニュアス（連続）にするように定義されている。
\(T_1\)は\(T_1 + T_2\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、任意のトポロジカルサムに対して、各構成要素は当該トポロジカルサムのトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題によって; \(T_2\)は\(T_1 + T_2\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、同様に。
\(g \vert_{T_1}: T_1 \to T_2 \cup_f T_1\)および\(g \vert_{T_2}: T_2 \to T_2 \cup_f T_1\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
ステップ2:
各\(t, t' \in T_2 \cup_f T_1\)に対して、\(3\)個の排他的でないケースたちがある: 1) \(t, t' \in g \vert_{T_1} (T_1)\); 2) \(t, t' \in g \vert_{T_2} (T_2)\); 3) \(t \in g \vert_{T_1} (T_1)\)および\(t' \in g \vert_{T_2} (T_2)\)、一般性を失うことなく。
それらが排他的でない理由は、\(t\)または\(t'\)は\(g \vert_{T_1} (T_1)\)および\(g \vert_{T_2} (T_2)\)両方内にいるかもしれない、しかし、それは問題ではない、なぜなら、ポイントは、任意のケースが、当該\(3\)個のケースたちの内の少なくとも1つのものとみなすことができるということである。
ステップ3:
ケース1)に対処しよう。
以下を満たす、何らかのポイントたち\(t_1, t'_1 \in T_1\)、つまり、\(t = g \vert_{T_1} (t_1)\)および\(t' = g \vert_{T_1} (t'_1)\)、がある。
以下を満たすあるパス\(\gamma_1: [0, 1] \to T_1\)、つまり、\(\gamma_1 (0) = t_1\)および\(\gamma_1 (1) = t'_1\)、がある、なぜなら、\(T_1\)はパスコネクテッド（連結された）である。
パス\(g \vert_{T_1} \circ \gamma_1: [0, 1] \to T_2 \cup_f T_1\)がある、それはコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって、そして、\(g \vert_{T_1} \circ \gamma_1 (0) = t\)および\(g \vert_{T_1} \circ \gamma_1 (1) = t'\)を満たす。
ステップ4:
ケース2)に対処しよう。
以下を満たす何らかのポイントたち\(t_2, t'_2 \in T_2\)、つまり、\(t = g \vert_{T_2} (t_2)\)および\(t' = g \vert_{T_2} (t'_2)\)、がある。
以下を満たすあるパス\(\gamma_2: [0, 1] \to T_2\)、つまり、\(\gamma_2 (0) = t_2\)および\(\gamma_2 (1) = t'_2\)、がある、なぜなら、\(T_2\)はパスコネクテッドである。
パス\(g \vert_{T_2} \circ \gamma_2: [0, 1] \to T_2 \cup_f T_1\)がある、それは、コンティニュアス（連続）である、前と同様、そして、\(g \vert_{T_2} \circ \gamma_2 (0) = t\)および\(g \vert_{T_2} \circ \gamma_2 (1) = t'\)を満たす。
ステップ5:
ケース3)に対処しよう。
以下を満たす何らかのポイントたち\(t_1 \in T_1\)および\(t_2 \in T_2\)、つまり、\(t = g \vert_{T_1} (t_1)\)および\(t' = g \vert_{T_2} (t_2)\)、がある。
\(S \neq \emptyset\)であるから、ある\(s \in S\)がある。
以下を満たすあるパス\(\gamma_1: [0, 0.5] \to T_1\)、つまり、\(\gamma_1 (0) = t_1\)および\(\gamma_1 (0.5) = s\)、がある、なぜなら、\(T_1\)はパスコネクテッド（連結された）である。
以下を満たすあるパス\(\gamma_2: [0.5, 1] \to T_2\)、つまり、\(\gamma_2 (0.5) = f (s)\)および\(\gamma_2 (1) = t_2\)、がある、なぜなら、\(T_2\)はパスコネクテッド（連結された）である。
パス\(g \vert_{T_1} \circ \gamma_1: [0, 0.5] \to T_2 \cup_f T_1\)がある、それは、コンティニュアス（連続）である、前と同様、そして、\(g \vert_{T_1} \circ \gamma_1 (0) = t\)および\(g \vert_{T_1} \circ \gamma_1 (0.5) = g \vert_{T_1} (s)\)を満たす。
パス\(g \vert_{T_2} \circ \gamma_2: [0.5, 1] \to T_2 \cup_f T_1\)がある、それは、コンティニュアス（連続）である、前と同様、そして、\(g \vert_{T_2} \circ \gamma_2 (0.5) = g \vert_{T_2} (f (s))\)および\(g \vert_{T_2} \circ \gamma_2 (1) = t'\)を満たす。
しかし、\(g \vert_{T_1} (s) = g \vert_{T_2} (f (s))\)。
すると、\(\gamma: [0, 1] \to T_2 \cup_f T_1\)、ここで、\(\gamma\vert_{[0, 0.5]} = \gamma_1\)および\(\gamma\vert_{[0.5, 1]} = \gamma_2\)、はウェルデファインド（妥当に定義された）である、\(\gamma_1 (0.5) = \gamma_2 (0.5)\)であるから、そして、コンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって、そして、\(\gamma (0) = t\)および\(\gamma (1) = t'\)を満たす。
ステップ6:
したがって、各ケースに対して、\(t\)と\(t'\)をコネクト（連結）するあるパスがある。
したがって、\(T_2 \cup_f T_1\)はパスコネクテッド（連結）である。
