メジャースペース（測度空間）のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）上方のメジャラブル（測定可能）エクステンデッド（拡張された）リアル（実）ファンクション（関数）のルベーグインテグラル（積分）の定義
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャラブルスペース（測定可能空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、エクステンデッド（拡張された）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、シンプルマップ（単純写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メジャースペース（測度空間）のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）上方のメジャラブル（測定可能）エクステンデッド（拡張された）リアル（実）ファンクション（関数）のルベーグインテグラル（積分）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( (M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャースペース（測度空間）たち }\}\)
\( \overline{\mathbb{R}}\): \(= \text{ 当該エクステンデッド（拡張された）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\( \mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\( f\): \(: M \to \overline{\mathbb{R}}\), \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
\( a\): \(\in A\)
\( \chi_a\): \(= a \text{ のキャラクタリスティックファンクション（特性関数） }\)
\( f^+\): \(: M \to [0, \infty], s \mapsto max (0, f (s))\)
\( f^-\): \(: M \to [0, \infty], s \mapsto - min (0, f (s))\)
\( P^+\): \(= \{f \in \{M \text{ から } \mathbb{R} \text{ の中への全てのメジャラブルファンクション（測定可能関数）たち }\} \cap \{\text{ 全てのシンプルマップ（単純写像）たち }\} \vert 0 \le f\}\)
\(*\int_a f d \mu\): \(= \int_M \chi_a f^+ d \mu - \int_M \chi_a f^- d \mu\)
//
コンディションたち:
\(g := f^+ \text{ または } f^-\)に対して、\(\int_M \chi_a g d \mu = sup_{h \in P^+ \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } h \le \chi_a g} \int_M h d \mu\)、ここで、\(\int_M h d \mu\)が意味するのは、\(h (M) = \{r_1, ..., r_n\}\)に対して、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} r_j \mu (h^{-1} (r_j))\)
//
\(\int_M \chi_a f^+ d \mu = \infty\)かつ\(\int_M \chi_a f^- d \mu = \infty\)である時は、それはウェルデファインド（妥当に定義された）でない、しかし、そうでなければ、それはウェルデファインド（妥当に定義された）である。
2: 注
\(\int_M \chi_a g d \mu\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
\(\{h \in P^+ \text{ such that } h \le \chi_a g\}\)は空でない、なぜなら、少なくとも、\(h = 0\)がその中にいる。
したがって、\(sup_{h \in P^+ \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } h \le \chi_a g} \int_M h d \mu\)は存在する、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）の性質として（\(\infty\)かもしれない）。
しかし、なぜ、\(f\)はメジャラブル（測定可能）である必要があるのか？、それは疑問として挙がる、なぜなら、本定義は、\(f\)がメジャラブル（測定可能）であることを必要としない: メジャラブル（測定可能）であることが必要なものたちは、\(h\)たちだけである。
実のところ、任意の非メジャラブル（測定可能）ファンクション（関数）に対してインテグラル（積分）を定義することは可能である。
しかし、そのインテグラル（積分）は、\(\int_a (f_1 + f_2) d \mu = \int_a f_1 d \mu + \int_a f_2 d \mu\)、のようないくつかのプロパティたちを満たすことを保証されないことになる、なぜなら、それは、\([0, \infty]\)の中への任意のメジャラブル（測定可能）\(f\)に対して、\([0, \infty)\)の中への以下を満たす何らかのシンプルメジャラブルファンクション（単純測定可能関数）たちの増加するシーケンス（列）\(f_1, f_2, ...\)、つまり、\(f_1 \le f_2 \le ...\)かつ\(lim_j f_j (x) = f (x)\)、があるという事実を利用する、それは、非メジャラブル（測定可能）\(f\)に対しては成立すると保証されない。
したがって、通常、\(f\)はメジャラブル（測定可能）であるよう要求される。
\(a\)は\(A\)に属するよう要求される、\(\chi_a f\)がメジャラブル（測定可能）であるよう要求するために: （任意のユークリディアンセット（集合）の中への任意のマップ（写像）および任意のキャラクタリスティックファンクション（特性関数）に対して、任意のサブセット（部分集合）の当該マップ（写像）に当該キャラクタリスティックファンクション（特性関数）を掛けたものの下でのプリイメージ（前像）はこれであるという命題を参照のこと）。
