カウンタブルセット（可算集合）たちのカウンタブル（可算）ユニオン（和集合）はカウンタブル（可算）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の、カウンタブルセット（可算集合）たちのカウンタブル（可算）ユニオン（和集合）はカウンタブル（可算）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \in \{\text{ 全てのカウンタブルセット（可算集合）たち }\} \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\cup_{j \in J} S_j \in \{\text{ 全てのカウンタブルセット（可算集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のバイジェクション（全単射）\(g: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to J\)を取り、各\(g (n) \in J\)に対して、任意のバイジェクション（全単射）\(f_{g (n)}: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to S_{g (n)}\)、を取り、あるサージェクション（全射）\(f: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to \cup_{g (n) \in J} S_{g (n)}\)を取る。
ステップ1:
任意のバイジェクション（全単射）\(g: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to J\)を取ろう。
各\(g (n) \in J\)に対して、あるバイジェクション（全単射）\(f_{g (n)}: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to S_{g (n)}\)がある。
あるマップ（写像）\(f: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to \cup_{{g (n)} \in J} S_{g (n)}\)を定義しよう、インダクティブ（帰納的）に、以下のとおり。
\(2\)に対して、\(\{f_{g (n)} (n_{g (n)}) \vert n + n_{g (n)} = 2\}\)を取ろう、それは、\(2 - 1\)個要素たちを持つ、実のところ、それは、\(\{f_{g (1)} (1)\}\)。
すると、\(f (1) = f_{g (1)} (1)\)を定義しよう。
今や、私たちは、\(f \vert_{\{1, ..., m_2\}}\)、ここで、\(m_2 = 1\)、を持つ。
\(3\)に対して、\(\{f_{g (n)} (n_{g (n)}) \vert n + n_{g (n)} = 3\}\)を取ろう、それは、\(3 - 1\)個要素たちを持つ、実のところ、それは、\(\{f_{g (1)} (2), f_{g (2)} (1)\}\)。
すると、\(f (m_2 + 1) = f (2) = f_{g (1)} (2), f (m_2 + (3 - 1)) = f (3) = f_{g (2)} (1)\)を定義しよう。
今や、私たちは、\(f \vert_{\{1, ..., m_3\}}\)、ここで、\(m_3 = 3\)を持つ。
\(n' - 1\)に対して、私たちは\(f \vert_{\{1, ..., m_{n' - 1}\}}\)を持つと仮定しよう。
\(n'\)に対して、\(\{f_{g (n)} (n_{g (n)}) \vert n + n_{g (n)} = n'\}\)を取ろう、それは、\(n' - 1\)個要素たちを持つ、実のところ、それは、\(\{f_{g (1)} (n' - 1), ..., f_{g (n' - 1)} (1)\}\)である。
すると、\(f (m_{n' - 1} + 1) = f_{g (1)} (n' - 1), ..., f (m_{n' - 1} + (n' - 1)) = f_{g (n' - 1)} (1)\)を定義しよう。
今や、私たちは、\(f \vert_{\{1, ..., m_{n'}\}}\)、ここで、\(m_{n'} = m_{n' - 1} + (n' - 1)\)、を持つ。
このようにして、\(f\)は定義された。
\(f\)はサージェクティブ（全射）である、なぜなら、各\(f_{g (n)} (n_{g (n)}) \in \cup_{{g (n)} \in J} S_{g (n)}\)に対して、\(f_{g (n)} (n_{g (n)})\)は、\(n + n_{g (n)}\)に対するステップによってカバーされた。
注意として、\(f\)は必ずしもインジェクティブ（単射）ではない、なぜなら、\(S_{g (n)} \cap S_{g (n')} \neq \emptyset\)である時、\(f_{g (n)} (m) = f_{g (n')} (m')\)は2回ヒットされる。
しかし、あるバイジェクション（全単射）\(f': \mathbb{N} \setminus \{0\} \to \cup_{{g (n)} \in J} S_{g (n)}\)がある、任意のインフィニットセット（無限集合）に対して、もしも、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）から当該セット（集合）の上へのあるサージェクション（全射）がある場合、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）から当該セット（集合）の上へのあるバイジェクション（全単射）があるという命題によって。
したがって、\(\cup_{{g (n)} \in J} S_{g (n)}\)はカウンタブル（可算）である。
