セカンドカウンタブル（可算）ローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の\(1\)-ポイントコンパクト化はセカンドカウンタブル（可算）であり、メトライザブル（計量付加可能）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、メトライザブル（計量付加可能）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、各ポイントがあるコンパクトネイバーフッド（近傍）を持つ場合、そしてその場合に限って、当該スペース（空間）はローカルにコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）数コンパクトサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のカウンタブルセット（可算集合）に対して、全てのファイナイトサブセット（有限部分集合）たちのセット（集合）はカウンタブル（可算）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のカウンタブルセット（可算集合）の任意のサブセット（部分集合）はカウンタブル（可算）であるという命題を認めている。
- 読者は、サージェクション（全射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意のインフィニットセット（無限集合）に対して、もしも、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）から当該セット（集合）の上へのあるサージェクション（全射）がある場合、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）から当該セット（集合）の上へのあるバイジェクション（全単射）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意の、カウンタブルセット（可算集合）たちのカウンタブル（可算）ユニオン（和集合）はカウンタブル（可算）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブスペース（部分空間）上の任意のポイントに対して、当該ポイントの当該ベーススペース（空間）上の任意のネイバーフッド（近傍）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は当該サブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、当該\(1\)-ポイントコンパクト化のトポロジーは、当該\(1\)-ポイントが追加されたセット（集合）をコンパクトハウスドルフにし元のスペース（空間）をサブスペース（部分空間）として持つ唯一のトポロジーであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）はコンプリート（完全）にレギュラー（正則）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）はメトライザブル（計量付加可能）である（ユリソーンメトライザブル（計量付加可能）定理）という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）ローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の\(1\)-ポイントコンパクト化はセカンドカウンタブル（可算）であり、メトライザブル（計量付加可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのセカンドカウンタブル（可算）ローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T^+\): \(= T \text{ の1-ポイントコンパクト化 }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T^+\): \(\in \{\text{ 全てのセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち }\} \cap \{\text{ 全てのメトライザブル（計量付加可能）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)に対する任意のカウンタブル（可算）ベーシス（基底）\(B\)を取り、各コンパクト\(K \subseteq T\)に対して、\(U_K := T \setminus \cup_{j \in J_K} \overline{U_{k_j}}\)、ここで、\(J_K\)はあるファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、\(U_{k_j} \in B\)は以下を満たす、つまり、\(\overline{U_{k_j}}\)はコンパクトであり\(K \subseteq \cup_{j \in J_K} U_{k_j}\)、を取る; ステップ2: \(B^+ := B \cup \{U_K \cup \{\infty\} \vert K \subseteq T\}\)は\(T^+\)に対するあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）であることを見る; ステップ3: \(T^+\)はメトライザブル（計量付加可能）であることを見る。
ステップ1:
\(B\)を、\(T\)に対する任意のカウンタブル（可算）ベーシス（基底）としよう。
\(K \subseteq T\)を任意のコンパクトサブセット（部分集合）としよう。
\(k \in K\)を任意のものとしよう。
\(k\)のあるカウンタブルコンパクトネイバーフッド（近傍）\(K_k \subseteq T\)がある、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、各ポイントがあるコンパクトネイバーフッド（近傍）を持つ場合、そしてその場合に限って、当該スペース（空間）はローカルにコンパクトであるという命題によって。
\(k\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_k \in B\)、つまり、\(U_k \subseteq K_k\)、がある、トポロジカルスペース（空間）に対するベーシス（基底）の定義によって。
\(K_k\)は\(T\)上でクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって、そして、\(\overline{U_k} \subseteq K_k\)、ここで、\(\overline{U_k}\)は\(T\)に関するクロージャー（閉包）、なぜなら、当該クロージャー（閉包）は、\(U_k\)を包含する全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であり、\(K_k\)はその内の1個である。
\(K_k\)は\(T\)のあるコンパクトサブスペース（部分空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって、そして、\(\overline{U_k}\)は\(K_k\)のあるカウンタブルクローズドサブセット（閉部分集合）である、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(\overline{U_k}\)は\(K_k\)のあるコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって、そして、\(T\)のあるコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。
\(K \subseteq \cup_{k \in K} U_k\)。
\(K\)はコンパクトであるから、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U_{k_j} \vert j \in J_K\}\)がある。
\(U_K := T \setminus \cup_{j \in J_K} \overline{U_{k_j}}\)を定義しよう。
\(U_K \cup \{\infty\} \subseteq T^+\)はオープン（開）である、なぜなら、\(U_K \cup \{\infty\} = T^+ \setminus \cup_{j \in J_K} \overline{U_{k_j}}\)および\(\cup_{j \in J_K} \overline{U_{k_j}} \subseteq T\)はコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）数コンパクトサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はコンパクトであるという命題によって。
\(U_K \cup \{\infty\} \subseteq T^+ \setminus K\)、なぜなら、各\(p \in U_K \cup \{\infty\}\)に対して、\(p \in U_K = T \setminus \cup_{j \in J_K} \overline{U_{k_j}}\)である時は、\(p \notin \cup_{j \in J_K} \overline{U_{k_j}}\)、しかし、\(K \subseteq \cup_{j \in J_K} U_{k_j} \subseteq \cup_{j \in J_K} \overline{U_{k_j}}\)であるから、\(p \notin K\)、したがって、\(p \in T^+ \setminus K\)、そして、\(p = \infty\)である時は、\(p \in T^+ \setminus K\)。
ステップ2:
\(B^+ := B \cup \{U_K \cup \{\infty\} \vert K \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\}\)を取ろう。
各\(\{U_{k_j} \vert j \in J_K\}\)は\(B\)のあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）であり、\(\{\{U_{k_j} \vert j \in J_K\} \vert K \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\} \subseteq \{B \text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\}\): \(\{\{U_{k_j} \vert j \in J_K\} \vert K \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\}\)は、必ずしも、\(T\)の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち数要素たちを持たない、なぜなら、任意のセット（集合）はその要素たち内に重複を持たず、\(\{U_{k_j} \vert j \in J_K\} = \{U_{k_j} \vert j \in J_{K'}\}\)、何らかの\(K \neq K'\)たちに対して、そして、それらは単一要素である。
\(\{\{U_{k_j} \vert j \in J_K\} \vert K \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\}\)はカウンタブル（可算）である、任意のカウンタブルセット（可算集合）に対して、全てのファイナイトサブセット（有限部分集合）たちのセット（集合）はカウンタブル（可算）であるという命題および任意のカウンタブルセット（可算集合）の任意のサブセット（部分集合）はカウンタブル（可算）であるという命題によって、したがって、あるバイジェクション（全単射）\(f: \mathbb{N} \to \{\{U_{k_j} \vert j \in J_K\} \vert K \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\}\)がある。
サージェクション（全単射）\(g: \{\{U_{k_j} \vert j \in J_K\} \vert K \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\} \to \{(T \setminus \cup_{j \in J_K} \overline{U_{k_j}}) \cup \{\infty\} \vert K \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\} = \{U_K \cup \{\infty\} \vert K \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\}\)がある。
したがって、\(g \circ f: \mathbb{N} \to \{U_K \cup \{\infty\} \vert K \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\}\)はあるサージェクション（全射）である、サージェクション（全射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題によって、そして、あるバイジェクション（全単射）\(f': \mathbb{N} \to \{U_K \cup \{\infty\} \vert K \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\}\)がある、任意のインフィニットセット（無限集合）に対して、もしも、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）から当該セット（集合）の上へのあるサージェクション（全射）がある場合、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）から当該セット（集合）の上へのあるバイジェクション（全単射）があるという命題によって。
したがって、\(\{U_K \cup \{\infty\} \vert K \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\}\)はカウンタブル（可算）である。
\(B^+\)はカウンタブル（可算）である、任意の、カウンタブルセット（可算集合）たちのカウンタブル（可算）ユニオン（和集合）はカウンタブル（可算）であるという命題によって。
\(B^+\)は\(T^+\)に対するあるベーシス（基底）であることを見よう。
各\(b^+ \in B^+\)に対して、\(b^+ \in B\)または\(b^+ \in \{U_K \cup \{\infty\} \vert K \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\}\)、しかし、\(b^+ \in B\)である時は、\(b^+\)は\(T\)上でオープン（開）である、したがって、\(T^+\)上でオープン（開）である、\(b^+ \in \{U_K \cup \{\infty\} \vert K \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\}\)である時は、\(b^+\)は\(T^+\)上でオープン（開）である、上記に見られたとおり。
\(t^+ \in T^+\)を任意のあるものとしよう。
\(N^+_{t^+} \subseteq T^+\)を\(t^+\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(t^+ \in T\)または\(t^+ = \infty\)。
\(t^+ \in T\)である時は、\(N^+_{t^+} \cap T \subseteq T\)は\(t^+\)の\(T\)上におけるネイバーフッド（近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のサブスペース（部分空間）上の任意のポイントに対して、当該ポイントの当該ベーススペース（空間）上の任意のネイバーフッド（近傍）と当該サブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は当該サブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）であるという命題によって、そして、以下を満たすある\(U_{t^+} \in B \subseteq B^+\)、つまり、\(t^+ \in U_{t^+} \subseteq N^+_{t^+} \cap T \subseteq N^+_{t^+}\)、がある。
\(t^+ = \infty\)である時は、\(t^+\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U^+_{t^+} \subseteq T^+\)、つまり、\(U^+_{t^+} \subseteq N^+_{t^+}\)、がある、しかし、\(U^+_{t^+} = T^+ \setminus K\)、あるコンパクト\(K \subseteq T\)に対して、そして、\(\infty \in U_K \cup \{\infty\} \subseteq T^+ \setminus K\)、上記に見られたとおり、したがって、\(\infty \in U_K \cup \{\infty\} \subseteq N^+_{t^+}\)、ここで、\(U_K \cup \{\infty\} \in B^+\)。
したがって、\(B^+\)は\(T^+\)に対するあるベーシス（基底）である。
したがって、\(B^+\)は\(T^+\)に対するあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）である。
ステップ3:
\(T^+\)はコンパクトハウスドルフである、任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、当該\(1\)-ポイントコンパクト化のトポロジーは、当該\(1\)-ポイントが追加されたセット（集合）をコンパクトハウスドルフにし元のスペース（空間）をサブスペース（部分空間）として持つ唯一のトポロジーであるという命題によって、\(T^+\)はノーマル（正規）である、任意のコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であるという命題によって、\(T^+\)はコンプリート（完全）にレギュラー（正則）である、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）はコンプリート（完全）にレギュラー（正則）であるという命題によって、そして、\(T^+\)はメトライザブル（計量付加可能）である、任意のセカンドカウンタブル（可算）コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）はメトライザブル（計量付加可能）である（ユリソーンメトライザブル（計量付加可能）定理）という命題およびステップ2 によって。
