\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の\(2\)個のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）シリーズ（級数）たちに対して、シリーズ（級数）たちのプロダクトは、項たちを項たちのプロダクト（積）たちとして持つダブルシリーズ（二重級数）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシリーズ（級数）のコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）および任意のリアルナンバー（実数）に対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちに当該ナンバー（数字）を掛けたものたちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）に当該ナンバー（数字）を掛けたものを持ってコンバージ（収束）するという命題を認めている。
- 読者は、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題を認めている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）シリーズ（級数）および当該ドメイン（定義域）の任意のパーティション（分割）たちに対して、当該パーティションたちの部分たちのシリーズ（級数）たちのシリーズ（級数）たちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題を認めている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）ファイナイトマルチプルシリーズ（有限多重級数）および当該ドメイン（定義域）の任意のパーティション（分割）たちに対して、当該部分たちのシリーズ（級数）たちのシリーズ（級数）たちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意の\(2\)個のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）シリーズ（級数）たちに対して、当該シリーズ（級数）たちのプロダクトは、項たちを項たちのプロダクト（積）たちとして持つダブルシリーズ（二重級数）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J_1\): \(\subseteq \mathbb{N}\)
\(J_2\): \(\subseteq \mathbb{N}\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 全てのユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(s_1\): \(: J_1 \to \mathbb{R}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\sum_{j_1 \in J_1} \vert s_1 (j_1) \vert = r'_1 \in \mathbb{R}\)
\(s_2\): \(: J_2 \to \mathbb{R}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\sum_{j_2 \in J_2} \vert s_2 (j_2) \vert = r'_2 \in \mathbb{R}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((\sum_{j_1 \in J_1} s_1 (j_1)) (\sum_{j_2 \in J_2} s_2 (j_2)) = \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} s_1 (j_1) s_2 (j_2)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} \vert s_1 (j_1) \vert \vert s_2 (j_2) \vert \le r'_1 r'_2\)であることを見る; ステップ2: \(r'_1 r'_2 \le \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} \vert s_1 (j_1) \vert \vert s_2 (j_2) \vert\)であることを見る; ステップ3: \(r'_1 r'_2 = \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} \vert s_1 (j_1) \vert \vert s_2 (j_2) \vert\)であることを結論する; ステップ4: \(J_1\)のパーティション（分割）\(\{J_{1, +}, J_{1, -}\}\)および\(J_2\)のパーティション（分割）\(\{J_{2, +}, J_{2, -}\}\)を取り、\(\sum_{j_1 \in J_1} s_1 (j_1) = \sum_{j_1 \in J_{1, +}} s_1 (j_1) - \sum_{j_1 \in J_{1, -}} \vert s_1 (j_1) \vert\)および\(\sum_{j_2 \in J_2} s_2 (j_2) = \sum_{j_2 \in J_{2, +}} s_2 (j_2) - \sum_{j_2 \in J_{2, -}} \vert s_2 (j_2) \vert\)であることを見る; ステップ5: \((\sum_{j_1 \in J_1} s_1 (j_1)) (\sum_{j_2 \in J_2} s_2 (j_2)) = \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} s_1 (j_1) s_2 (j_2)\)であることを見る。
ステップ0:
\(r'_1 = 0\)である時は、各\(s_1 (j_1) = 0\)、したがって、各\(s_1 (j_1) s_2 (j_2) = 0\)、したがって、\((\sum_{j_1 \in J_1} s_1 (j_1)) (\sum_{j_2 \in J_2} s_2 (j_2)) = 0 = \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} s_1 (j_1) s_2 (j_2)\)。
\(r'_2 = 0\)である時は、\((\sum_{j_1 \in J_1} s_1 (j_1)) (\sum_{j_2 \in J_2} s_2 (j_2)) = 0 = \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} s_1 (j_1) s_2 (j_2)\)、同様に。
これ以降、\(0 \lt r'_1, r'_2\)であると仮定しよう。
ステップ1:
\({J_1}^` \subseteq J_1\)を任意の先行ファイナイトサブセット（有限部分集合）としよう。
\(\sum_{j_1 \in {J_1}^`} \sum_{j_2 \in J_2} \vert s_1 (j_1) \vert \vert s_2 (j_2) \vert = \sum_{j_1 \in {J_1}^`} \vert s_1 (j_1) \vert \sum_{j_2 \in J_2} \vert s_2 (j_2) \vert\)、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）および任意のリアルナンバー（実数）に対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちに当該ナンバー（数字）を掛けたものたちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）に当該ナンバー（数字）を掛けたものを持ってコンバージ（収束）するという命題によって、\(= (\sum_{j_1 \in {J_1}^`} \vert s_1 (j_1) \vert) \sum_{j_2 \in J_2} \vert s_2 (j_2) \vert\)、なぜなら、それはあるファイナイトアディション（有限和）である、\(\le r'_1 r'_2\)。
したがって、\(\sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} \vert s_1 (j_1) \vert \vert s_2 (j_2) \vert \le r'_1 r'_2\)。
ステップ2:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon \lt 3 r'_1 r'_2\)を満たす任意のものとしよう。
\(\vert J_1 \vert = n_1\)である時は、\(u_1 := r'_1 - \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{n_1}\}} \vert s_1 (j_1) \vert = 0\)。
そうでない時は、以下を満たすある\(N_1 \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N_1 \lt n_1\)を満たす各\(n_1 \in \mathbb{N}\)に対して、\(u_{1, n_1} := r'_1 - \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{n_1}\}} \vert s_1 (j_1) \vert \lt \epsilon / (3 r'_2)\)、がある。
So, anyway, \(u_{1, n_1} \le \epsilon / (3 r'_1)\). したがって、いずれにせよ、\(u_{1, n_1} \le \epsilon / (3 r'_1)\)。
同様に、\(u_{2, n_2} := r'_2 - \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n_2}\}} \vert s_2 (j_2) \vert \le \epsilon / (3 r'_1)\)。
\(r'_1 r'_2 = (\sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{n_1}\}} \vert s_1 (j_1) \vert + u_{1, n_1}) (\sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n_2}\}} \vert s_2 (j_2) \vert + u_{2, n_2}) = (\sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{n_1}\}} \vert s_1 (j_1) \vert) (\sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n_2}\}} \vert s_2 (j_2) \vert) + (\sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{n_1}\}} \vert s_1 (j_1) \vert) u_{2, n_2} + u_{1, n_1} (\sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n_2}\}} \vert s_2 (j_2) \vert) + u_{1, n_1} u_{2, n_2} \le (\sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{n_1}\}} \vert s_1 (j_1) \vert) (\sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n_2}\}} \vert s_2 (j_2) \vert) + (\sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{n_1}\}} \vert s_1 (j_1) \vert) \epsilon / (3 r'_1) + \epsilon / (3 r'_2) (\sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n_2}\}} \vert s_2 (j_2) \vert) + u_{1, n_1} u_{2, n_2} \le (\sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{n_1}\}} \vert s_1 (j_1) \vert) (\sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n_2}\}} \vert s_2 (j_2) \vert) + r'_1 \epsilon / (3 r'_1) + \epsilon / (3 r'_2) r'_2 + \epsilon / (3 r'_2) \epsilon / (3 r'_1) = (\sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{n_1}\}} \vert s_1 (j_1) \vert) (\sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n_2}\}} \vert s_2 (j_2) \vert) + \epsilon / 3 + \epsilon / 3 + \epsilon / (3 r'_2) \epsilon / (3 r'_1)\)。
しかし、\(\epsilon \lt 3 r'_1 r'_2\)であるから、\(\epsilon / (3 r'_2) \epsilon / (3 r'_1) \lt \epsilon / 3\)。
したがって、\(\le (\sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{n_1}\}} \vert s_1 (j_1) \vert) (\sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n_2}\}} \vert s_2 (j_2) \vert) + \epsilon / 3 + \epsilon / 3 + \epsilon / 3 = (\sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{n_1}\}} \vert s_1 (j_1) \vert) (\sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n_2}\}} \vert s_2 (j_2) \vert) + \epsilon\)。
\((\sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{n_1}\}} \vert s_1 (j_1) \vert) (\sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n_2}\}} \vert s_2 (j_2) \vert) = \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_{n_1}\}} (\vert s_1 (j_1) \vert \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_{n_2}\}} \vert s_2 (j_2) \vert) = \sum_{j_1 \in \{{J_1}_1, ..., {J_1}_n\}} \sum_{j_2 \in \{{J_2}_1, ..., {J_2}_n\}} (\vert s_1 (j_1) \vert \vert s_2 (j_2) \vert)\)、なぜなら、それらはファイナイト（有限）オペレーションたちである、\(\le \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} (\vert s_1 (j_1) \vert \vert s_2 (j_2) \vert)\)。
したがって、\(r'_1 r'_2 \le \sum_{j_1 J_1} \sum_{j_2 \in J_2} (\vert s_1 (j_1) \vert \vert s_2 (j_2) \vert) + \epsilon\)、各\(0 \lt \epsilon \lt 3 r'_1 r'_2\)に対して。
すると、\(r'_1 r'_2 \le \sum_{j_1 J_1} \sum_{j_2 \in J_2} (\vert s_1 (j_1) \vert \vert s_2 (j_2) \vert) + \epsilon\)、各\(3 r'_1 r'_2 \le \epsilon\)に対して、なおさら。
したがって、\(r'_1 r'_2 \le \sum_{j_1 J_1} \sum_{j_2 \in J_2} (\vert s_1 (j_1) \vert \vert s_2 (j_2) \vert) + \epsilon\)、各\(0 \lt \epsilon\)に対して。
したがって、\(r'_1 r'_2 \le \sum_{j_1 J_1} \sum_{j_2 \in J_2} (\vert s_1 (j_1) \vert \vert s_2 (j_2) \vert)\)、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題によって。
ステップ3:
したがって、\(r'_1 r'_2 = \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} \vert s_1 (j_1) \vert \vert s_2 (j_2) \vert\)。
ステップ4:
\(J_1\)の以下を満たすパーティション（分割）\(\{J_{1, +}, J_{1, -}\}\)、つまり、各\(j_1 \in J_{1, +}\)に対して、\(0 \le s_1 (j_1)\)、そして、各\(j_1 \in J_{1, -}\)に対して、\(s_1 (j_1) \lt 0\)、を取ろう。
\(J_2\)の以下を満たすパーティション（分割）\(\{J_{2, +}, J_{2, -}\}\)、つまり、各\(j_2 \in J_{2, +}\)に対して、\(0 \le s_2 (j_2)\)、そして、各\(j_2 \in J_{2, -}\)に対して、\(s_2 (j_2) \lt 0\)、を取ろう。
\(\sum_{j_1 \in J_1} s_1 (j_1) = \sum_{j_1 \in J_{1, +}} s_1 (j_1) + \sum_{j_1 \in J_{1, -}} s_1 (j_1)\)、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）シリーズ（級数）および当該ドメイン（定義域）の任意のパーティション（分割）たちに対して、当該パーティションたちの部分たちのシリーズ（級数）たちのシリーズ（級数）たちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題によって、\(= \sum_{j_1 \in J_{1, +}} s_1 (j_1) + \sum_{j_1 \in J_{1, -}} - \vert s_1 (j_1) \vert = \sum_{j_1 \in J_{1, +}} s_1 (j_1) - \sum_{j_1 \in J_{1, -}} \vert s_1 (j_1) \vert\)、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）および任意のリアルナンバー（実数）に対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちに当該ナンバー（数字）を掛けたものたちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）に当該ナンバー（数字）を掛けたものを持ってコンバージ（収束）するという命題によって。
\(\sum_{j_2 \in J_2} s_2 (j_2) = \sum_{j_2 \in J_{2, +}} s_2 (j_2) - \sum_{j_2 \in J_{2, -}} \vert s_2 (j_2) \vert\)、同様に。
ステップ5:
\((\sum_{j_1 \in J_1} s_1 (j_1)) (\sum_{j_2 \in J_2} s_2 (j_2)) = (\sum_{j_1 \in J_{1, +}} s_1 (j_1) - \sum_{j_1 \in J_{1, -}} \vert s_1 (j_1) \vert) (\sum_{j_2 \in J_{2, +}} s_2 (j_2) - \sum_{j_2 \in J_{2, -}} \vert s_2 (j_2) \vert) = (\sum_{j_1 \in J_{1, +}} s_1 (j_1)) (\sum_{j_2 \in J_{2, +}} s_2 (j_2)) - (\sum_{j_1 \in J_{1, +}} s_1 (j_1)) (\sum_{j_2 \in J_{2, -}} \vert s_2 (j_2) \vert) - (\sum_{j_1 \in J_{1, -}} \vert s_1 (j_1) \vert) (\sum_{j_2 \in J_{2, +}} s_2 (j_2)) + (\sum_{j_1 \in J_{1, -}} \vert s_1 (j_1) \vert) (\sum_{j_2 \in J_{2, -}} \vert s_2 (j_2) \vert)\)。
\(= (\sum_{j_1 \in J_{1, +}} \sum_{j_2 \in J_{2, +}} s_1 (j_1) s_2 (j_2)) - (\sum_{j_1 \in J_{1, +}} \sum_{j_2 \in J_{2, -}} s_1 (j_1) \vert s_2 (j_2) \vert) - (\sum_{j_1 \in J_{1, -}} \sum_{j_2 \in J_{2, +}} \vert s_1 (j_1) \vert s_2 (j_2)) + (\sum_{j_1 \in J_{1, -}} \sum_{j_2 \in J_{2, -}} \vert s_1 (j_1) \vert \vert s_2 (j_2) \vert)\)、ステップ3によって。
\(= (\sum_{j_1 \in J_{1, +}} \sum_{j_2 \in J_{2, +}} s_1 (j_1) s_2 (j_2)) + (\sum_{j_1 \in J_{1, +}} \sum_{j_2 \in J_{2, -}} - s_1 (j_1) \vert s_2 (j_2) \vert) + (\sum_{j_1 \in J_{1, -}} \sum_{j_2 \in J_{2, +}} - \vert s_1 (j_1) \vert s_2 (j_2)) + (\sum_{j_1 \in J_{1, -}} \sum_{j_2 \in J_{2, -}} \vert s_1 (j_1) \vert \vert s_2 (j_2) \vert)\)、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のコンバージェント（収束する）シリーズ（級数）および任意のリアルナンバー（実数）に対して、シリーズ（級数）で項たちを対応する項たちに当該ナンバー（数字）を掛けたものたちとして持つものは、当該コンバージェンス（収束ポイント）に当該ナンバー（数字）を掛けたものを持ってコンバージ（収束）するという命題によって、\(= (\sum_{j_1 \in J_{1, +}} \sum_{j_2 \in J_{2, +}} s_1 (j_1) s_2 (j_2)) + (\sum_{j_1 \in J_{1, +}} \sum_{j_2 \in J_{2, -}} s_1 (j_1) s_2 (j_2)) + (\sum_{j_1 \in J_{1, -}} \sum_{j_2 \in J_{2, +}} s_1 (j_1) s_2 (j_2)) + (\sum_{j_1 \in J_{1, -}} \sum_{j_2 \in J_{2, -}} s_1 (j_1) s_2 (j_2))\)。
\(= (\sum_{(j_1, j_2) \in J_{1, +} \times J_{2, +}} s_1 (j_1) s_2 (j_2)) + (\sum_{(j_1, j_2) \in J_{1, +} \times J_{2, -}} s_1 (j_1) s_2 (j_2)) + (\sum_{(j_1, j_2) \in J_{1, -} \times J_{2, +}} s_1 (j_1) s_2 (j_2)) + (\sum_{(j_1, j_2) \in J_{1, -} \times J_{2, -}} s_1 (j_1) s_2 (j_2))\)、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）ファイナイトマルチプルシリーズ（有限多重級数）および当該ドメイン（定義域）の任意のパーティション（分割）たちに対して、当該部分たちのシリーズ（級数）たちのシリーズ（級数）たちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題によって、なぜなら、\(\{\{(j_1, j_2)\} \vert (j_1, j_2) \in J_{1, +} \times J_{2, +}\}\)は\(J_{1, +} \times J_{2, +}\)のあるパーティション（分割）である、その一方、\(\sum_{j_1 \in J_{1, +}} \sum_{j_2 \in J_{2, +}} \vert s_1 (j_1) s_2 (j_2) \vert \le \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} \vert s_1 (j_1) s_2 (j_2) \vert = r'_1 r'_2\)、等々と続く。
\(= \sum_{(j_1, j_2) \in J_1 \times J_2} s_1 (j_1) s_2 (j_2)\)、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）ファイナイトマルチプルシリーズ（有限多重級数）および当該ドメイン（定義域）の任意のパーティション（分割）たちに対して、当該部分たちのシリーズ（級数）たちのシリーズ（級数）たちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題、なぜなら、\(\{J_{1, +} \times J_{2, +}, J_{1, +} \times J_{2, -}, J_{1, -} \times J_{2, +}, J_{1, -} \times J_{2, -}\}\)は\(J_1 \times J_2\)のあるパーティション（分割）である。
\(= \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} s_1 (j_1) s_2 (j_2)\)、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）ファイナイトマルチプルシリーズ（有限多重級数）および当該ドメイン（定義域）の任意のパーティション（分割）たちに対して、当該部分たちのシリーズ（級数）たちのシリーズ（級数）たちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題によって、なぜなら、\(\{\{(j_1, j_2)\} \vert (j_1, j_2) \in J_1 \times J_2\}\)は\(J_1 \times J_2\)のあるパーティション（分割）である。
したがって、\((\sum_{j_1 \in J_1} s_1 (j_1)) (\sum_{j_2 \in J_2} s_2 (j_2)) = \sum_{j_1 \in J_1} \sum_{j_2 \in J_2} s_1 (j_1) s_2 (j_2)\)。
