同一ドメイン（定義域）を持つパーシャリーオーダードリング（半順序環）上の\(2\)個のシーケンス（列）たちに対して、シーケンス（列）たちの合計のリミットスピアリア（上極限）は、必ずしも、シーケンス（列）たちのリミットスピアリア（上極限）たちの合計ではない、そして、シーケンス（列）たちの合計のリミットインフェリア（下極限）は、必ずしも、シーケンス（列）たちのリミットインフェリア（下極限）たちの合計ではないことの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、パーシャリーオーダードリング（半順序環）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）上のシーケンス（列）のリミットスピアリア（上極限）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）上のシーケンス（列）のリミットインフェリア（下極限）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、 ある同一ドメイン（定義域）を持つあるパーシャリーオーダードリング（半順序環）上の何らか\(2\)個のシーケンス（列）たちに対して、当該シーケンス（列）たちの合計のリミットスピアリア（上極限）は、必ずしも、当該シーケンス（列）たちのリミットスピアリア（上極限）たちの合計ではない、そして、当該シーケンス（列）たちの合計のリミットインフェリア（下極限）は、必ずしも、当該シーケンス（列）たちのリミットインフェリア（下極限）たちの合計ではないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのパーシャリーオーダードリング（半順序環）たち }\}\)で、任意のパーシャルオーダリング（半順序）\(\lt\)を持つもの
\(s\): \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(Dom (s) = J\)および\(Ran (s) \subseteq R\)
\(s'\): \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(Dom (s') = J\)および\(Ran (s') \subseteq R\)
\(s + s'\): \(: J \to R, j \mapsto s (j) + s' (j)\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも、以下ではない、つまり、"\(lim sup (s + s') = (lim sup s) + (lim sup s')\)"
\(\land\)
必ずしも、以下ではない、つまり、"\(lim inf (s + s') = (lim inf s) + (lim inf s')\)"
//
2: 注
任意のパーシャリーオーダードリング（半順序環）上の任意のシーケンス（列）に対して、もしも、当該シーケンス（列）のリミットスピアリア（上極限）が存在する場合、（当該シーケンス（列）プラス任意の要素）のリミットスピアリア（上極限）は存在し、(当該シーケンス（列）のリミットスピアリア（上極限））プラス当該要素に等しい、もしも、当該シーケンス（列）のリミットインフェリア（下極限）が存在する場合、（当該シーケンス（列）プラス任意の要素）のリミットインフェリア（下極限）は存在し、（当該シーケンス（列）のリミットインフェリア（下極限）プラス当該要素に等しいという命題と比較のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(lim sup (s + s') \neq (lim sup s) + (lim sup s')\)であるある例を見る; ステップ2: \(lim inf (s + s') \neq (lim inf s) + (lim inf s')\)であるある例を見る。
ステップ1:
\(lim sup (s + s') \neq (lim sup s) + (lim sup s')\)であるある例を見よう。
\(J = \mathbb{N}\)、\(R = \mathbb{R}\)、\(s: j \mapsto 1 \text{ 、 } j \text{ が偶である時 }; \mapsto - 1 \text{ 、 } j \text{ が奇である時 }\)および\(s': j \mapsto - 1 \text{ 、 } j \text{ が偶である時 }; \mapsto 1 \text{ 、 } j \text{ が奇である時 }\)、としよう。
\(lim sup s = 1\)および\(lim sup s' = 1\)。
しかし、\(s + s' = 0\)であるから、\(lim sup (s + s') = 0\)。
したがって、\(lim sup (s + s') = 0 \neq 2 = (lim sup s) + (lim sup s')\)。
ステップ2:
\(lim inf (s + s') \neq (lim inf s) + (lim inf s')\)であるある例を見よう。
\(J = \mathbb{N}\)、\(R = \mathbb{R}\)、\(s: j \mapsto 1 \text{ 、 } j \text{ が偶である時 }; \mapsto - 1 \text{ 、 } j \text{ が奇である時 }\)および\(s': j \mapsto - 1 \text{ 、 } j \text{ が偶である時 }; \mapsto 1 \text{ 、 } j \text{ が奇である時 }\)。
\(lim inf s = - 1\)および\(lim inf s' = - 1\)。
しかし、\(s + s' = 0\)であるので、\(lim inf (s + s') = 0\)。
したがって、\(lim inf (s + s') = 0 \neq - 2 = (lim inf s) + (lim inf s')\)。
