\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の\(2\)個のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）たちで同一インデックスセット（集合）を持つものたちに対して、もしも、各インデックスに対して、それ以上のインデックスで第1シーケンス（列）の第1インデックスを持つ要素が第2シーケンス（列）の第2インデックスを持つ要素以下であるものがある場合、第1シーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）は第2シーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）以下であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意の\(2\)個のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）たちで任意の同一インデックスセット（集合）を持つものたちに対して、もしも、各インデックスに対して、それ以上のあるインデックスで第1シーケンス（列）の第1インデックスを持つ要素が第2シーケンス（列）の第2インデックスを持つ要素以下であるものがある場合、第1シーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）は第2シーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）以下であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(s_1\): \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(Dom (s) = J\)および\(Ran (s) \subseteq \mathbb{R}\)
\(s_2\): \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(Dom (s) = J\)および\(Ran (s) \subseteq \mathbb{R}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists lim s_1 \land \exists lim s_2 \land \forall j' \in J (\exists j \in J \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } j' \le j (s_1 (j') \le s_2 (j)))\)
\(\implies\)
\(lim s_1 \le lim s_2\)
//
2: 注
\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意の\(2\)個のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）たちで任意の同一インデックスセット（集合）を持つものたちに対して、もしも、各インデックスに対して、それ以上のあるインデックスで第1シーケンス（列）の第2インデックスを持つ要素が第2シーケンス（列）の第1インデックスを持つ要素以下であるものがある場合、第1シーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）は第2シーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）以下であるという命題も成立する。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(J\)がファイナイト（有限）であるケースに対処し、それ以降は、そうでないと仮定する; ステップ2: 各\(\epsilon\)に対して、以下を満たす何らかの\(N'\)および\(N\)、つまり、各\(N' \lt n'\)に対して、\(\vert lim s_1 - s_1 (J_{n'}) \vert \lt \epsilon / 2\)、および、各\(N \lt n\)に対して、\(\vert lim s_2 - s_2 (J_n) \vert \lt \epsilon / 2\)、を取り、以下を満たす任意の\(N', N \lt n'\)および任意の\(J_{n'} \le j\)、つまり、\(s_1 (J_{n'}) \le s_2 (j)\)、を取り、\(lim s_1 - \epsilon \lt lim s_2\)であることを見る。
ステップ1:
\(\vert J \vert \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)であると仮定しよう。
\(lim s_1 = s_1 (J_{\vert J \vert})\)。
以下を満たすある\(j \in J\)、つまり、\(J_{\vert J \vert} \le j\)および\(s_1 (J_{\vert J \vert}) \le s_2 (j)\)、がある、当該仮定によって、しかし、\(J_{\vert J \vert} \le j\)は\(j = J_{\vert J \vert}\)を意味する、したがって、\(s_1 (J_{\vert J \vert}) \le s_2 (J_{\vert J \vert})\)。
しかし、\(lim s_2 = s_2 (J_{\vert J \vert})\)。
したがって、\(lim s_1 = s_1 (J_{\vert J \vert}) \le s_2 (J_{\vert J \vert}) = lim s_2\)。
これ以降は、そうでないと仮定しよう。
ステップ2:
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N' \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N' \lt n'\)を満たす各\(n' \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\vert lim s_1 - s_1 (J_{n'}) \vert \lt \epsilon / 2\)、がある、したがって、\(s_1 (J_{n'}) - \epsilon / 2 \lt lim s_1 \lt s_1 (J_{n'}) + \epsilon / 2\)。
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\vert lim s_2 - s_2 (J_n) \vert \lt \epsilon / 2\)、がある、したがって、\(s_2 (J_n) - \epsilon / 2 \lt lim s_2 \lt s_2 (J_n) + \epsilon / 2\)。
\(n' \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)を、\(N', N \lt n'\)を満たす任意のものとしよう。
特に\(N' \lt n'\)であるから、\(s_1 (J_{n'}) - \epsilon / 2 \lt lim s_1 \lt s_1 (J_{n'}) + \epsilon / 2\)。
以下を満たすある\(j \in J\)、つまり、\(J_{n'} \le j\)および\(s_1 (J_{n'}) \le s_2 (j)\)、がある、当該仮定によって。
\(j = J_n\)であるところ、\(J_{n'} \le j = J_n\)が意味するのは、\(n' \le n\)、したがって、\(N', N \lt n' \le n\)。
特に\(N \lt n\)であるから、\(s_2 (J_n) - \epsilon / 2 \lt lim s_2 \lt s_2 (J_n) + \epsilon / 2\)。
したがって、\(lim s_1 - \epsilon \lt s_1 (J_{n'}) - \epsilon / 2 \le s_2 (J_n) - \epsilon / 2 \lt lim s_2\)。
したがって、\(lim s_1 \le lim s_2 + \epsilon\)。
したがって、\(lim s_1 \le lim s_2\)、任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題によって。
