パーシャリーオーダードセット（半順序集合）上のシーケンス（列）およびサブシーケンス（部分列）に対して、もしも、シーケンス（列）のリミットスピアリア（上極限）が存在する場合、サブシーケンス（部分列）のリミットスピアリア（上極限）は必ずしも存在せず、もしも、それが存在する場合、それはシーケンス（列）のリミットスピアリア（上極限）以下であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）上のシーケンス（列）のリミットスピアリア（上極限）の定義を知っている。
- 読者は、シーケンス（列）のサブシーケンス（部分列）の定義を知っている。
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）に等しいかそれより大きいという命題を認めている。
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）および任意の同一のインデックスセット（集合）を持つ任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たちでインフィマム（下限）たちを持つものたちに対して、もしも、各インデックスに対して、第1サブセット（部分集合）の要素が第2サブセット（部分集合）の要素以下である場合、第1サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は第2サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）以下であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）上の任意のシーケンス（列）および任意のサブシーケンス（部分列）に対して、もしも、当該シーケンス（列）のリミットスピアリア（上極限）が存在する場合、当該サブシーケンス（部分列）のリミットスピアリア（上極限）は必ずしも存在せず、もしも、それが存在する場合、それは当該シーケンス（列）のリミットスピアリア（上極限）以下であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのパーシャリーオーダードセット（半順序集合）たち }\}\)で、任意のパーシャルオーダリング（半順序）\(\lt\)を持つもの
\(s\): \(\in \{\text{ 全てのシーケンス（列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(Dom (s) = J\)および\(Ran (s) \subseteq S\)
\(J^`\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J^` \neq \emptyset\)
\(s^`\): \(= s \circ f\), \(\in \{s \text{ の全てのサブシーケンス（部分列）たち } \text{ で、 } f: J^` \to J \text{ を持つもの }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\exists lim sup s\)
\(\lnot \implies\)
\(\exists lim sup s^`\)
)
\(\land\)
(
\(\exists lim sup s \land \exists lim sup s^`\)
\(\implies\)
\(lim sup s^` \le lim sup s\)
)
//
2: 注
任意のメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、その任意のサブシーケンス（部分列）は当該シーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題と比較のこと。
\(lim sup s = lim sup s^`\)は、必ずしも成立しない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(lim sup s\)は存在するが、\(lim sup s^`\)は存在しないある例を見る; ステップ2: \(lim sup s\)および\(lim sup s^`\)は存在すると仮定する; ステップ3: 任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）に等しいかそれより大きいという命題および任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）および任意の同一のインデックスセット（集合）を持つ任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たちでインフィマム（下限）たちを持つものたちに対して、もしも、各インデックスに対して、第1サブセット（部分集合）の要素が第2サブセット（部分集合）の要素以下である場合、第1サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は第2サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）以下であるという命題を適用する; ステップ4: \(lim sup s = lim sup s^`\)が成立しないある例を見る。
ステップ1:
\(lim sup s\)は存在するが\(lim sup s^`\)は存在しないある例を見よう。
\(b_0.b_1 b_2 ...\)を、\(\sqrt{2}\)の小数表示としよう。
\(J = \mathbb{N}\)、\(S = \mathbb{Q}\)、\(s: J \to S, j \mapsto b_0.b_1 b_2 ... b_{j / 2} \text{ 、 } j \text{ が偶である時 }; \mapsto 2 \text{ 、 } j \text{ が奇である時 }\)、\(J^` = \mathbb{N}\)、\(s^` = s \circ f\)、ここで、\(f: J^` \to J, j^` \mapsto 2 j^`\)、としよう。
\(lim sup s = Inf (\{Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\})\)、\(Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) = 2\)、各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、そして、\(Inf (\{Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}) = 2\)。
しかし、\(Sup (\{s^` (J^`_{n^`}) \vert n^` \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n^`\})\)は存在しない、各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、なぜなら、\(s^`\)は\(\sqrt{2}\)へ下から近づき、\(\mathbb{Q}\)内にサプリマム（上限）を持たない（\(\mathbb{R}\)内にはサプリマム（上限）を持つ）、したがって、\(lim sup s^` = Inf (\{Sup (\{s^` (J^`_{n^`}) \vert n^` \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n^`\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\})\)は存在しない。
ステップ2:
\(lim sup s\)および\(lim sup s^`\)は存在すると仮定しよう。
ステップ3:
各\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\{s^` (J^`_{n^`}) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le {n^`}\} \subseteq \{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}\)、なぜなら、\(s^` (J^`_{n^`}) = s \circ f (J^`_{n^`})\)、しかし、\(f (J^`_{n^`}) = J_n\)、ここで、\(n^` \le n\)（シーケンス（列）のサブシーケンス（部分列）の定義に対する"注"を参照のこと）、したがって、\(m \le n\)、したがって、\(s^` (J^`_{n^`}) = s \circ f (J^`_{n^`}) = s (J_n) \in \{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}\)。
\(Sup (\{s^` (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \le Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\})\)、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）に等しいかそれより大きいという命題によって。
すると、\(lim sup s^` = Inf (\{Sup (\{s^` (J^`_{n^`}) \vert n^` \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n^`\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}) \le Inf (\{Sup (\{s (J_n) \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } m \le n\}) \vert m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}) = lim sup s\)、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）および任意の同一のインデックスセット（集合）を持つ任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たちでインフィマム（下限）たちを持つものたちに対して、もしも、各インデックスに対して、第1サブセット（部分集合）の要素が第2サブセット（部分集合）の要素以下である場合、第1サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は第2サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）以下であるという命題によって。
ステップ4:
\(lim sup s = lim sup s^`\)が成立しないある例を見よう。
\(J = \mathbb{N}\)、\(S = \mathbb{R}\)、\(s: J \to S, j \mapsto - 1 \text{ 、 } j \text{ が偶である時 }; \mapsto \text{ 1 } \text{ 、 } j \text{ が奇である時 }\)、\(J^` = \mathbb{N}\)、\(s^` = s \circ f\)、ここで、\(f: J^` \to J, j^` \mapsto 2 j^`\)。
すると、\(lim sup s = 1\)、しかし、\(lim sup s^` = - 1\)、そして、\(lim sup s^` \lt lim sup s\)。
