メジャースペース（測度空間）およびメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対して、インテグラブルコンプレックスファンクション（積分可能複素関数）のスペース（空間）上方におけるルベーグインテグラル（積分）はサブセット（部分集合）上方におけるインテグラル（積分）プラスサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）上方におけるインテグラル（積分）であることの記述/証明
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャースペース（測度空間）のメジャラブルサブセット（測度空間部分集合）上方のインテグラブルコンプレックスファンクション（積分可能複素関数）のルベーグインテグラル（積分）の定義を知っている。
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）および任意のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対して、任意のメジャラブル（測定可能）エクステンデッド（拡張された）リアル（実）ファンクション（関数）の当該スペース（空間）上方におけるルベーグインテグラル（積分）はサブセット（部分集合）上方におけるインテグラル（積分）プラスサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）上方におけるインテグラル（積分）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）および任意のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対して、任意のインテグラブルコンプレックスファンクション（積分可能複素関数）の当該スペース（空間）上方におけるルベーグインテグラル（積分）は当該サブセット（部分集合）上方におけるインテグラル（積分）プラス当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）上方におけるインテグラル（積分）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャースペース（測度空間）たち }\}\)
\( \mathbb{C}\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）
\(f\): \(: M \to \mathbb{C}\), \(\in \{\text{ 全てのルベーグインテグラブルファンクション（積分可能関数）たち }\}\)
\(a\): \(\in A\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\int_M f d \mu = \int_a f d \mu + \int_{M \setminus a} f d \mu\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)は\(a\)上方および\(M \setminus a\)上方でインテグラブル（積分可能）であることを見る; ステップ2: 任意のメジャースペース（測度空間）および任意のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対して、任意のメジャラブル（測定可能）エクステンデッド（拡張された）リアル（実）ファンクション（関数）の当該スペース（空間）上方におけるルベーグインテグラル（積分）はサブセット（部分集合）上方におけるインテグラル（積分）プラスサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）上方におけるインテグラル（積分）であるという命題を適用する。
ステップ1:
\(f = Re (f) + i Im (f) = Re (f)^+ - Re (f)^- + i (Im (f)^+ - Im (f)^-)\)。
\(f\)がインテグラブル（積分可能）であることが意味するのは、\(\int_M Re (f)^+ d \mu \lt \infty\)、\(\int_M Re (f)^- d \mu \lt \infty\)、\(\int_M Im (f)^+ d \mu \lt \infty\)、\(\int_M Im (f)^- d \mu \lt \infty\)。
すると、\(\int_a Re (f)^+ d \mu \lt \infty\)、\(\int_a Re (f)^- d \mu \lt \infty\)、\(\int_a Im (f)^+ d \mu \lt \infty\)、\(\int_a Im (f)^- d \mu \lt \infty\)、なぜなら、\(Re (f)^+\)、\(Re (f)^-\)、\(Im (f)^+\)、\(Im (f)^-\)たちは非ネガティブ（負）である。
したがって、\(f\)は\(a\)上方でインテグラブル（積分可能）である。
\(f\)は\(M \setminus a\)上方でインテグラブル（積分可能）である、同様に。
ステップ2:
\(\int_M f d \mu = \int_M Re (f) d \mu + i \int_M Im (f) d \mu\)。
\(= \int_a Re (f) d \mu + \int_{M \setminus a} Re (f) d \mu + i (\int_a Im (f) d \mu + \int_{M \setminus a} Im (f) d \mu)\)、任意のメジャースペース（測度空間）および任意のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対して、任意のメジャラブル（測定可能）エクステンデッド（拡張された）リアル（実）ファンクション（関数）の当該スペース（空間）上方におけるルベーグインテグラル（積分）はサブセット（部分集合）上方におけるインテグラル（積分）プラスサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）上方におけるインテグラル（積分）であるという命題によって、\(= \int_a Re (f) d \mu + i \int_a Im (f) d \mu + \int_{M \setminus a} Re (f) d \mu + i \int_{M \setminus a} Im (f) d \mu = \int_a f d \mu + \int_{M \setminus a} f d \mu\)。
