メジャースペース（測度空間）上方のメジャラブル（測定可能）エクステンデッド（拡張された）リアル（実）ファンクション（関数）でそのレンジ（値域）がナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）とインフィニティ（無限）のユニオン（和集合）内にあるものに対して、マップ（写像）のルベーグインテグラル（積分）は、クローズド（閉）ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）またはインフィニティ（無限）ローワーバウンデッド（下方有界）インターバル（区間）たちのプリイメージ（前像）たちのメジャー（測度）たちの合計であることの記述/証明
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャースペース（測度空間）のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）上方のメジャラブル（測定可能）エクステンデッド（拡張された）リアル（実）ファンクション（関数）のルベーグインテグラル（積分）の定義を知っている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、レンジ（値域）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）ダブルシリーズ（二重級数）に対して、シリーズ（級数）で合計たち順序たちが変更されたものたちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題を認めている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のダイバージェント（発散する）非ネガティブ（負）ダブルシリーズ（二重級数）に対して、合計たち順序を変えたシリーズ（級数）はダイバージ（発散）するという命題を認めている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）上方のメジャラブル（測定可能）エクステンデッド（拡張された）リアル（実）ファンクション（関数）でそのレンジ（値域）がナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）とインフィニティ（無限）のユニオン（和集合）内にある任意のものに対して、当該マップ（写像）のルベーグインテグラル（積分）は、全てのクローズド（閉）ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）またはインフィニティ（無限）ローワーバウンデッド（下方有界）インターバル（区間）たちのプリイメージ（前像）たちのメジャー（測度）たちの合計であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャースペース（測度空間）たち }\}\)
\(f\): \(: M \to [0, \infty]\), \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(f (M) \subseteq \mathbb{N} \cup \{\infty\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\int_M f d \mu = \sum_{n \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\})) = \sum_{n \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} \mu (f^{-1} ([n, \infty]))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\int_M f d \mu = \sum_{n \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\}))\)であることを見る; ステップ2: \(\sum_{n \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} \mu (f^{-1} ([n, \infty])) = \sum_{n \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\}))\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(h: M \to \mathbb{R}\)を、非ネガティブ（負）シンプルメジャラブルファンクション（単純測定可能関数）で\(h \le f\)を満たす任意のものとしよう。
\(h (M) = \{r_1, ..., r_l\}\)としよう。
\(\int_M h d \mu = \sum_{j \in \{1, ..., l\}} r_j \mu (h^{-1} (\{r_j\})) \le \sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\}))\)であることを見よう。
\(h^{-1} (\{r_j\}) = h^{-1} (\{r_j\}) \cap M = h^{-1} (\{r_j\}) \cap f^{-1} (\mathbb{N} \cup \{\infty\})\)、任意のマップ（写像）に対して、レンジ（値域）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題によって、\(= h^{-1} (\{r_j\}) \cap (\cup_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} f^{-1} (\{n\}))\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(= \cup_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} (h^{-1} (\{r_j\}) \cap f^{-1} (\{n\}))\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(r_j \mu (h^{-1} (\{r_j\})) = r_j \mu (\cup_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} (h^{-1} (\{r_j\}) \cap f^{-1} (\{n\}))) = r_j \sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} \mu (h^{-1} (\{r_j\}) \cap f^{-1} (\{n\})) = \sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} r_j \mu (h^{-1} (\{r_j\}) \cap f^{-1} (\{n\})) \le \sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \mu (h^{-1} (\{r_j\}) \cap f^{-1} (\{n\}))\)、なぜなら、\(n \lt r_j\)を満たす各\(n\)に対して、\(h^{-1} (\{r_j\}) \cap f^{-1} (\{n\}) = \emptyset\)、なぜなら、各\(m \in h^{-1} (\{r_j\})\)に対して、\(h (m) = r_j \le f (m) \neq n\)、したがって、\(m \notin f^{-1} (\{n\})\)、したがって、\(r_j \le n\)項たちのみが非ゼロである。
したがって、\(\sum_{j \in \{1, ..., l\}} r_j \mu (h^{-1} (\{r_j\})) \le \sum_{j \in \{1, ..., l\}} \sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \mu (h^{-1} (\{r_j\}) \cap f^{-1} (\{n\})) = \sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} \sum_{j \in \{1, ..., l\}} n \mu (h^{-1} (\{r_j\}) \cap f^{-1} (\{n\}))\)、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）ダブルシリーズ（二重級数）に対して、シリーズ（級数）で合計たち順序たちが変更されたものたちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題および\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のダイバージェント（発散する）非ネガティブ（負）ダブルシリーズ（二重級数）に対して、合計たち順序を変えたシリーズ（級数）はダイバージ（発散）するという命題によって、\(= \sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \sum_{j \in \{1, ..., l\}} \mu (h^{-1} (\{r_j\}) \cap f^{-1} (\{n\})) = \sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \mu (\cup_{j \in \{1, ..., l\}} (h^{-1} (\{r_j\}) \cap f^{-1} (\{n\}))) = \sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \mu ((\cup_{j \in \{1, ..., l\}} h^{-1} (\{r_j\})) \cap f^{-1} (\{n\})))\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(= \sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \mu (h^{-1} (\cup_{j \in \{1, ..., l\}} \{r_j\}) \cap f^{-1} (\{n\})))\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(= \sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \mu (M \cap f^{-1} (\{n\}))\)、任意のマップ（写像）に対して、レンジ（値域）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であるという命題によって、\(= \sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \mu (f^{-1} (\{n\}))\)。
したがって、\(\sum_{j \in \{1, ..., l\}} r_j \mu (h^{-1} (\{r_j\})) \le \sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\}))\)。
もしも、\(0 \lt \mu (f^{- 1} (\{\infty\}))\)である場合、\(\sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\})) = \infty\)、その一方で、\(int_M f d \mu = \infty\)、したがって、\(int_M f d \mu = \sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\}))\)。
これ以降はそうでないと仮定しよう。
\(\sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\})) = \sum_{n \in \mathbb{N}} n \mu (f^{- 1} (\{n\}))\)。
\(\sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\})) = \infty\)であると仮定しよう。
\(0 \le r\)を満たす各大きい\(r \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(r \lt \sum_{n \in \{0, ..., N + 1\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\}))\)、がある。
すると、以下を満たす非ネガティブ（負）シンプルメジャラブルファンクション（単純測定可能関数）\(f_{N + 1}: M \to \mathbb{R}, m \mapsto Min (\{f (m), N + 1\})\)、つまり、\(f_{N + 1} \le f\)、がある。
\(f_{N + 1}\)は、本当に非ネガティブ（負）である、なぜなら、\(0 \le f (m)\)および\(0 \le N + 1\)。
\(f_{N + 1}\)は、本当にシンプル（単純）である、なぜなら、\(f_{N + 1} (M) \subseteq \{0, ..., N + 1\}\)。
\(f_{N + 1}\)は本当にメジャラブル（測定可能）であることを見よう。
\(a \subseteq \mathbb{R}\)を任意のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）としよう。
\(N + 1 \notin a\)である時は、\({f_{N + 1}}^{-1} (a) = f^{-1} (a \cap (- \infty, N + 1))\)、なぜなら、各\(m \in {f_{N + 1}}^{-1} (a)\)に対して、\(f_{N + 1} (m) \in a\)、しかし、\(f_{N + 1} (m) \in (- \infty, N + 1)\)、したがって、\(f_{N + 1} (m) = Min (\{f (m), N + 1\}) = f (m) \in a \cap (- \infty, N + 1)\)、したがって、\(m \in f^{-1} (a \cap (- \infty, N + 1))\); 各\(m \in f^{-1} (a \cap (- \infty, N + 1))\)に対して、\(f (m) \in a \cap (- \infty, N + 1)\)、しかし、\(f_{N + 1} (m) = Min (\{f (m), N + 1\}) = f (m) \in a \cap (- \infty, N + 1) \subseteq a\)、したがって、\(m \in {f_{N + 1}}^{-1} (a)\)。
\(N + 1 \in a\)である時は、\({f_{N + 1}}^{-1} (a) = f^{-1} (a) \cup f^{-1} ([N + 1, \infty])\)、なぜなら、各\(m \in {f_{N + 1}}^{-1} (a)\)に対して、\(f_{N + 1} (m) \in a\)、しかし、\(f_{N + 1} (m) \lt N + 1\)である時は、\(f_{N + 1} (m) = Min (\{f (m), N + 1\}) = f (m) \in a\)、したがって、\(m \in f^{-1} (a)\)、そして、\(f_{N + 1} (m) = N + 1\)である時は、\(f_{N + 1} (m) = Min (\{f (m), N + 1\}) = N + 1\)、したがって、\(N + 1 \le f (m)\)、したがって、\(m \in f^{-1} ([N + 1, \infty])\); 各\(m \in f^{-1} (a) \cup f^{-1} ([N + 1, \infty])\)に対して、\(m \in f^{-1} (a)\)である時は、\(f (m) \in a\)、そして、\(f_{N + 1} (m) = Min (\{f (m), N + 1\}) = f (m) \text{ または } N + 1\)、そして、いずれにせよ、\(f_{N + 1} (m) \in a\)、したがって、\(m \in {f_{N + 1}}^{-1} (a)\)、\(m \in f^{-1} ([N + 1, \infty])\)である時は、\(f (m) \in [N + 1, \infty]\)、しかし、\(f_{N + 1} (m) = Min (\{f (m), N + 1\}) = N + 1 \in a\)、したがって、\(m \in {f_{N + 1}}^{-1} (a)\)。
したがって、いずれにせよ、\({f_{N + 1}}^{-1} (a)\)はメジャラブル（測定可能）である。
したがって、\(f_{N + 1}\)はメジャラブル（測定可能）である。
すると、\(\sum_{n \in \{0, ..., N + 1\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\})) \le \sum_{n \in \{0, ..., N + 1\}} n \mu ({f_{N + 1}}^{- 1} (\{n\}))\)、なぜなら、\(f^{- 1} (\{n\}) \subseteq {f_{N + 1}}^{- 1} (\{n\})\)、なぜなら、各\(m \in f^{- 1} (\{n\})\)に対して、\(f (m) = n \le N + 1\)、したがって、\(f_{N + 1} (m) = Min (\{f (m), N + 1\}) = f (m) = n\)、したがって、\(m \in {f_{N + 1}}^{- 1} (\{n\})\)。
したがって、\(r \lt \sum_{n \in \{0, ..., N + 1\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\})) \le \sum_{n \in \{0, ..., N + 1\}} n \mu ({f_{N + 1}}^{- 1} (\{n\}))\)。
したがって、\(\int_M f d \mu = Sup (\{\int_M h d \mu \vert h \in P^+ \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } h \le f\}) = \infty\)。
So, \(\int_M f d \mu = \sum_{n \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\}))\). したがって、\(\int_M f d \mu = \sum_{n \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\}))\)。
\(\sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\})) = s \lt \infty\)であると仮定しよう。
以下を満たす各\(\epsilon \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \epsilon\)、に対して、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(\vert \sum_{n \in \{0, ..., N + 1\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\})) - s \vert \lt \epsilon\)、がある、それが意味するのは、\(s - \sum_{n \in \{0, ..., N + 1\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\})) \lt \epsilon\)。
\(s - \epsilon \lt \sum_{n \in \{0, ..., N + 1\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\}))\)。
すると、以下を満たす非ネガティブ（負）シンプルメジャラブルファンクション（単純測定可能関数）\(f_{N + 1}: M \to \mathbb{R}, m \mapsto Min (\{f (m), N + 1\})\)、つまり、\(f_{N + 1} \le f\)、がある: それは、本当に非ネガティブ（負）シンプルメジャラブル（単純測定可能）である、前と同様。
すると、\(\sum_{n \in \{0, ..., N + 1\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\})) \le \sum_{n \in \{0, ..., N + 1\}} n \mu ({f_{N + 1}}^{- 1} (\{n\}))\)、前と同様。
したがって、\(s - \epsilon \lt \sum_{n \in \{0, ..., N + 1\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\})) \le \sum_{n \in \{0, ..., N + 1\}} n \mu ({f_{N + 1}}^{- 1} (\{n\}))\)。
したがって、\(s = Sup (\{\int_M h d \mu \vert h \in P^+ \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } h \le f\}) = \int_M f d \mu\)、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって: \(\int_M h d \mu \le \sum_{n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\})) = s\)は上記に見られたところ、\(s - \epsilon\)は、"当該要素より小さい当該セット（集合）の要素"であり、\(\sum_{n \in \{0, ..., N + 1\}} n \mu ({f_{N + 1}}^{- 1} (\{n\}))\)は、"より大きい当該サブセット（部分集合）の要素"である。
したがって、\(\int_M f d \mu = \sum_{n \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\}))\)、いずれにせよ。
ステップ2:
\(\sum_{n \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} \mu (f^{-1} ([n, \infty])) = \sum_{n \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} \mu (\cup_{j \in (\mathbb{R} \setminus \{0, ..., n - 1\}) \cup \{\infty\}} f^{-1} (\{j\})) = \sum_{n \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} \sum_{j \in (\mathbb{R} \setminus \{0, ..., n - 1\}) \cup \{\infty\}} \mu (f^{-1} (\{j\})) = \sum_{n \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} \sum_{j \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} s_{n, j}\)、ここで、\(s_{n, j} := 0\)、\(j \lt n\)である時は、そして、\(s_{n, j} := \mu (f^{-1} (\{j\}))\)、\(n \le j\)である時は、\(= \sum_{j \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} \sum_{n \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} s_{n, j}\)、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のアブソリュートにコンバージェント（絶対収束する）ダブルシリーズ（二重級数）に対して、シリーズ（級数）で合計たち順序たちが変更されたものたちは、同一コンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）するという命題および\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のダイバージェント（発散する）非ネガティブ（負）ダブルシリーズ（二重級数）に対して、合計たち順序を変えたシリーズ（級数）はダイバージ（発散）するという命題によって、\(= 1 \mu (f^{-1} (\{1\})) + 2 \mu (f^{-1} (\{2\})) + ... + \infty \mu (f^{-1} (\{\infty\})) = \sum_{n \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} n \mu (f^{- 1} (\{n\}))\)。
ステップ3:
ステップ1およびステップ2によって、\(\int_M f d \mu = \sum_{n \in (\mathbb{N} \cup \{\infty\}) \setminus \{0\}} \mu (f^{-1} ([n, \infty]))\)。
