メジャースペース（測度空間）およびメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対して、メジャラブル（測定可能）エクステンデッド（拡張された）リアル（実）ファンクション（関数）のスペース（空間）上方におけるルベーグインテグラル（積分）はサブセット（部分集合）上方におけるインテグラル（積分）プラスサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）上方におけるインテグラル（積分）であることの記述/証明
話題
About: メジャースペース（測度空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャースペース（測度空間）のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）上方のメジャラブル（測定可能）エクステンデッド（拡張された）リアル（実）ファンクション（関数）のルベーグインテグラル（積分）の定義を知っている。
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）でカノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つものおよびサブセット（部分集合）たちの任意のファイナイト（有限）セット（集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）たちのレプリゼンタティブ（代表）たちの各セット（集合）の合計が任意のナンバー（数字）以下である場合、当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちの合計は当該ナンバー（数字）以下であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャースペース（測度空間）および任意のメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対して、任意のメジャラブル（測定可能）エクステンデッド（拡張された）リアル（実）ファンクション（関数）の当該スペース（空間）上方におけるルベーグインテグラル（積分）はサブセット（部分集合）上方におけるインテグラル（積分）プラスサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）上方におけるインテグラル（積分）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, A, \mu)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャースペース（測度空間）たち }\}\)
\(\overline{\mathbb{R}}\): \(= \text{ 当該エクステンデッド（拡張された）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\(f\): \(: M \to \overline{\mathbb{R}}\), \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
\(a\): \(\in A\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\int_M f d \mu = \int_a f d \mu + \int_{M \setminus a} f d \mu\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\int_M f d \mu\)、\(\int_a f d \mu\)、\(\int_{M \setminus a} f d \mu\)が何を意味をするかを見る; ステップ2: 各\(g = f^+ \text{ または } f^-\)に対して、\(\int_a g d \mu + \int_{M \setminus a} g d \mu \le \int_M g d \mu\)であることを見る; ステップ3: 各\(g = f^+ \text{ or } f^-\)に対して、\(\int_M g d \mu \le \int_a g d \mu + \int_{M \setminus a} f g \mu\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\int_M f d \mu = \int_M f^+ d \mu - \int_M f^- d \mu\)、\(\int_a f d \mu = \int_M \chi_a f^+ d \mu - \int_M \chi_a f^- d \mu\)、\(\int_{M \setminus a} f d \mu = \int_M \chi_{M \setminus a} f^+ d \mu - \int_M \chi_{M \setminus a} f^- d \mu\)、定義によって。
\(g := f^+ \text{ or } f^-\)としよう。
\(\int_M g d \mu = Sup (\{\int_M h d \mu \vert h \in P^+ \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } h \le g\})\)、ここで、\(\int_M h d \mu\)が意味するのは、\(h (M) = \{t_1, ..., t_n\}\)（それが意味するのは、\(h = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t_j \chi_{h^{-1} (t_j)}\)）に対して、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t_j \mu (h^{-1} (t_j))\)、定義によって。
\(\{h^{-1} (t_j) \vert j \in \{1, ..., n\}\}\)たちは、\(M\)のディスジョイント（互いに素）メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たちである。
\(\int_a g d \mu = Sup (\{\int_M h d \mu \vert h \in P^+ \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } h \le \chi_a g\})\)、ここで、\(h = \sum_{j \in \{1, ..., n_a\}} r_j \chi_{h^{-1} (r_j)}\)および\(\int_M h d \mu = \sum_{j \in \{1, ..., n_a\}} r_j \mu (h^{-1} (r_j))\)。
\(\{h^{-1} (r_j) \vert j \in \{1, ..., n_a\}\}\)は、\(a\)のディスジョイント（互いに素）メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たちである。
\(\int_{M \setminus a} g d \mu = Sup (\{\int_M h d \mu \vert h \in P^+ \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } h \le \chi_{M \setminus a} g\})\)、ここで、\(h = \sum_{j \in \{1, ..., n_{M \setminus a}\}} s_j \chi_{h^{-1} (s_j)}\)および\(\int_M h d \mu = \sum_{j \in \{1, ..., n_{M \setminus a}\}} s_j \mu (h^{-1} (s_j))\)。
\(\{h^{-1} (s_j) \vert j \in \{1, ..., n_{M \setminus a}\}\}\)たちは、\(M \setminus a\)のディスジョイント（互いに素）メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たちである。
ステップ2:
\(\int_a g d \mu + \int_{M \setminus a} g d \mu \le \int_M g d \mu\)であることを見よう。
\(h_a = \sum_{j \in \{1, ..., n_a\}} r_j \chi_{{h_a}^{-1} (r_j)} \in \{h \in P^+ \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } h \le \chi_a g\}\)および\(h_{M \setminus a} = \sum_{j \in \{1, ..., n_{M \setminus a}\}} s_j \chi_{{h_{M \setminus a}}^{-1} (s_j)} \in \{h \in P^+ \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } h \le \chi_{M \setminus a} g\}\}\)を任意のものとしよう。
\(h_a + h_{M \setminus a} \in \{h \in P^+ \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } h \le g\}\)、なぜなら、それは、ファイナイト（有限）個値たち\(\{r_1, ..., r_{n_a}, s_1, ..., s_{n_{M \setminus a}}\}\)（それは、何らかの重複たちを持つかもしれない）を持つあるシンプルファンクション（単純関数）である、ここで、\(\{(h_a + h_{M \setminus a})^{-1} (r_1), ..., (h_a + h_{M \setminus a})^{-1} (r_{n_a}), (h_a + h_{M \setminus a})^{-1} (s_1), ..., (h_a + h_{M \setminus a})^{-1} (s_{n_{M \setminus a}})\}\)（それは、何らかの重複たちを含むかもしれない）は、\(M\)のディスジョイント（互いに素）メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たちである: \((h_a + h_{M \setminus a})^{-1} (r_1) = {h_a}^{-1} (r_1) \cup {h_{M \setminus a}}^{-1} (r_1)\)、ここで、\({h_{M \setminus a}}^{-1} (r_1)\)は、\(r_1 \in \{s_1, ..., s_{n_{M \setminus a}}\}\)である時のため、等々と続く、そして、\(h_a + h_{M \setminus a} \le g\)は、\(a\)上方で成立する、なぜなら、\(h_a + h_{M \setminus a} = h_a + 0 \le \chi_a g = g\)、そして、それは、\(M \setminus a\)上方で成立する、なぜなら、\(h_a + h_{M \setminus a} = 0 + h_{M \setminus a} \le \chi_{M \setminus a} g = g\)、したがって、それは、\(M\)上方で成立する。
したがって、\(\int_M h_a d \mu + \int_M h_{M \setminus a} d \mu = \int_M (h_a + h_{M \setminus a}) d \mu \le \int_M g d \mu\)。
リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）でカノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つものおよびサブセット（部分集合）たちの任意のファイナイト（有限）セット（集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）たちのレプリゼンタティブ（代表）たちの各セット（集合）の合計が任意のナンバー（数字）以下である場合、当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちの合計は当該ナンバー（数字）以下であるという命題によって、\(\int_a g d \mu + \int_{M \setminus a} g d \mu = Sup (\{\int_M h_a d \mu\}) + Sup (\{\int_M h_{M \setminus a} d \mu\}) \le \int_M g d \mu\)。
ステップ3:
\(\int_M g d \mu \le \int_a g d \mu + \int_{M \setminus a} g d \mu\)であることを見よう。
\(h = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t_j \chi_{h^{-1} (t_j)} \in \{h \in P^+ \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } h \le g\}\)を任意のものとしよう。
\(\{r_1, ..., r_{n_a}\} = \{r_j \in \{t_1, ..., t_n\} \vert h^{-1} (t_1) \cap a \neq \emptyset\}\)を取ろう、それは、空であるかもしれない、そして、\(\{s_1, ..., s_{n_{M \setminus a}}\} = \{s_j \in \{t_1, ..., t_n\} \vert h^{-1} (t_1) \cap (M \setminus a) \neq \emptyset\}\)、それは、空であるかもしれない。
\(h_a = \sum_{j \in \{1, ..., n_a\}} r_j \chi_{h^{-1} (r_j) \cap a}\)を取ろう、それは、\(\{1, ..., n_a\}\)が空である時は、\(0\)であるとみなされる、そして、\(h_{M \setminus a} = \sum_{j \in \{1, ..., n_{M \setminus a}\}} s_j \chi_{h^{-1} (s_j) \cap (M \setminus a)}\)、それは、\(\{1, ..., n_{M \setminus a}\}\)が空である時は、\(0\)であるとみなされる。
すると、\(h = h_a + h_{M \setminus a}\)、なぜなら、\(a\)上方では、\(h = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t_j \chi_{h^{-1} (t_j)} = \sum_{j \in \{1, ..., n_a\}} r_j \chi_{h^{-1} (r_j) \cap a}\)、なぜなら、\(h^{-1} (t_j) \cap a \neq \emptyset\)である項たちのみが消滅しない、\(= h_a = h_a + h_{M \setminus a}\)、そして、\(M \setminus a\)上方では、\(h = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t_j \chi_{h^{-1} (t_j)} = \sum_{j \in \{1, ..., n_{M \setminus a}\}} s_j \chi_{h^{-1} (s_j) \cap (M \setminus a)}\)、なぜなら、\(h^{-1} (t_j) \cap (M \setminus a) \neq \emptyset\)である項たちのみが消滅しない、\(= h_{M \setminus a} = h_a + h_{M \setminus a}\)。
\(h_a \in \{h \in P^+ \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } h \le \chi_a g\}\)、なぜなら、それは、ファイナイト（有限）個値たち\(\{r_1, ..., r_{n_a}\}\)を持つあるシンプルファンクション（単純関数）である、ここで、\(\{{h_a}^{-1} (r_1), ..., {h_a}^{-1} (r_{n_a})\}\)たちは、\(M\)のディスジョイント（互いに素）メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たち: \({h_a}^{-1} (r_1) = h^{-1} (r_1) \cap a\)、等々と続く、そして、\(h_a \le \chi_a g\)は\(a\)上方にて成立する、なぜなら、\(h_a = h \le g = \chi_a g\)、そして、それは、\(M \setminus a\)上方にて成立する、なぜなら、\(h_a = 0 \le \chi_a g\)、したがって、それは、\(M\)上方で成立する。
\(h_{M \setminus a} \in \{h \in P^+ \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } h \le \chi_{M \setminus a} g\}\)、なぜなら、それは、ファイナイト（有限）個値たち\(\{s_1, ..., s_{n_{M \setminus a}}\}\)を持つあるシンプルファンクション（単純関数）である、ここで、\(\{{h_{M \setminus a}}^{-1} (s_1), ..., {h_{M \setminus a}}^{-1} (s_{n_{M \setminus a}})\}\)たちは、\(M\)のディスジョイント（互いに素）メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）たちである: \({h_{M \setminus a}}^{-1} (s_1) = h^{-1} (s_1) \cap (M \setminus a)\)、等々と続く、そして、\(h_{M \setminus a} \le \chi_{M \setminus a} g\)は、\(a\)上方にて成立する、なぜなら、\(h_{M \setminus a} = 0 \le \chi_{M \setminus a} g\)、そして、それは、\(M \setminus a\)上方にて成立する、なぜなら、\(h_{M \setminus a} = h \le g = \chi_{M \setminus a} g\)、したがって、それは、\(M\)上方で成立する。
\(\int_M h d \mu = \int_M (h_a + h_{M \setminus a}) d \mu = \int_M h_a d \mu + \int_M h_{M \setminus a} d \mu \le \int_a g d \mu + \int_{M \setminus a} g d \mu\)。
それが含意するのは、\(\int_M g d \mu \le \int_a g d \mu + \int_{M \setminus a} g d \mu\)。
ステップ4:
したがって、\(\int_M g d \mu = \int_a g d \mu + \int_{M \setminus a} g d \mu\)。
したがって、\(\int_M f d \mu = \int_M f^+ d \mu - \int_M f^- d \mu = \int_a f^+ d \mu + \int_{M \setminus a} f^+ d \mu - (\int_a f^- d \mu + \int_{M \setminus a} f^- d \mu) = \int_a f^+ d \mu - \int_a f^- d \mu + \int_{M \setminus a} f^+ d \mu - \int_{M \setminus a} f^- d \mu = \int_a (f^+ - f^-) d \mu + \int_{M \setminus a} (f^+ - f^-) d \mu = \int_a f d \mu + \int_{M \setminus a} f d \mu\)。
