トポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、クローズドサブセット（閉部分集合）たちのセット（集合）でそのインターセクション（共通集合）が空であるもの各々に対して、非空ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）でそのインターセクション（共通集合）が空であるものがある場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、クローズドサブセット（閉部分集合）たちのアンカウンタブル（不可算）かもしれないセット（集合）でそのインターセクション（共通集合）が空であるもの各々に対して、ある非空ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）でそのインターセクション（共通集合）が空であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall \{C_j \in \{T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\} \vert j \in J\} \text{ 、ここで、 } J \text{ は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合） } \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } \cap_{j \in J} C_j = \emptyset (\exists J^` \subseteq J \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } \vert J \vert \in \mathbb{N} \setminus \{0\} (\cap_{j \in J^`} C_j = \emptyset))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各そうした\(\{C_j \vert j \in J\}\)に対してある\(J^`\)があると仮定する; ステップ2: \(T\)の各オープンカバー（開被覆）に対して、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）があることを見る; ステップ3: \(T\)はコンパクトであると仮定する; ステップ4: 各そうした\(\{C_j \vert j \in J\}\)に対してある\(J^`\)があることを見る。
ステップ1:
各そうした\(\{C_j \vert j \in J\}\)に対して、ある\(J^`\)があると仮定しよう。
ステップ2:
\(\{U_j \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)はあるアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、を\(T\)の任意のオープンカバー（開被覆）としよう。
\(\{T \setminus U_j \vert j \in J\}\)を取ろう、それは、クローズドサブセット（閉部分集合）たちのあるセット（集合）である。
\(\cap_{j \in J} (T \setminus U_j) = \emptyset\)、なぜなら、もしも、ある\(t \in \cap_{j \in J} (T \setminus U_j)\)があったら、\(t \in T \setminus U_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(t \notin U_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(t \notin \cup_{j \in J} U_j = T\)、矛盾。
当該仮定によって、以下を満たすある非空ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(J^` \subseteq J\)、つまり、\(\cap_{j \in J^`} (T \setminus U_j) = \emptyset\)、がある。
\(\cup_{j \in J^`} U_j = T\)、なぜなら、もしも、ある\(t \in T \setminus \cup_{j \in J^`} U_j\)があったら、\(t \notin \cup_{j \in J^`} U_j\)、したがって、\(t \notin U_j\)、各\(j \in J^`\)に対して、したがって、\(t \in T \setminus U_j\)、各\(j \in J^`\)に対して、したがって、\(t \in \cap_{j \in J^`} (T \setminus U_j) = \emptyset\)、矛盾。
したがって、\(\{U_j \vert j \in J^`\}\)はあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）である。
したがって、\(T\)はコンパクトである。
ステップ3:
\(T\)はコンパクトであると仮定しよう。
ステップ4:
\(\cup_{j \in J} (T \setminus C_j) = T\)、なぜなら、\(\cup_{j \in J} (T \setminus C_j) \subseteq T\)は明らかであるところ、各\(t \in T\)に対して、\(t \notin C_j\)、ある\(j \in J\)に対して、なぜなら、そうでなかったら、\(t \in \cap_{j \in J} C_j = \emptyset\)、矛盾、したがって、\(t \in T \setminus C_j\)、ある\(j \in J\)に対して、したがって、\(t \in \cup_{j \in J} (T \setminus C_j)\)、したがって、\(T \subseteq \cup_{j \in J} (T \setminus C_j)\)。
したがって、\(\{T \setminus C_j \vert j \in J\}\)は\(T\)のあるオープンカバー（開被覆）である。
あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{T \setminus C_j \vert j \in J^`\}\)がある、なぜなら、\(T\)はコンパクトである。
\(\cap_{j \in J^`} C_j = \emptyset\)、なぜなら、もしも、ある\(t \in \cap_{j \in J^`} C_j\)があったら、\(t \in C_j\)、各\(j \in J^`\)に対して、したがって、\(t \notin T \setminus C_j\)、各\(j \in J^`\)に対して、したがって、\(t \notin \cup_{j \in J^`} T \setminus C_j = T\)、矛盾。
