セット（集合）たちでその各々が\(1\)個より多い要素たちを持つもののインフィニット（無限）プロダクトはアンカウンタブル（不可算）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、カウンタブルセット（可算集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、セット（集合）たちでその各々が\(1\)個より多い要素たちを持つものの任意のインフィニット（無限）プロダクトはアンカウンタブル（不可算）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのインフィニット（無限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \in \{\text{ 全てのセット（集合）たち } \} \vert j \in J, 1 \lt \vert S_j \vert\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\times_{j \in J} S_j \notin \{\text{ 全てのカウンタブルセット（可算集合）たち }\}\)
//
2: 注
各\(S_j\)が\(1\)要素のみ持つ時は、\(\times_{j \in J} S_j\)はカウンタブル（可算）である、実のところ、\(1\)要素のみを持つ、なぜなら、各\(f \in \times_{j \in J} S_j\)に対して、各\(j \in J\)に対して、\(f (j)\)は\(S_j\)の唯一の要素である、したがって、\(f\)はユニークに決定される。
3: 証明
全単射: ステップ1: あるサージェクション（全射）\(g: \mathbb{N} \to \times_{j \in J} S_j\)があったと仮定し、ある矛盾を見つける。
ステップ0:
注意として、チョイス（選択）公理が使われる、明示的にどこかは言及されることなく。
ステップ1:
\(J\)はインフィニット（無限）であるから、あるインジェクション（単射）\(g': \mathbb{N} \to J\)がある: それをインダクティブ（帰納的）に定義する、以下のとおり: \(0\)に対して、\(J\)のある要素を選ぶ; \(1\)に対して\(J\)の残りのある要素を選ぶ、...、等々と続く。
あるサージェクション（全射）\(g: \mathbb{N} \to \times_{j \in J} S_j\)があったと仮定しよう。
\(f \in \times_{j \in J} S_j\)を以下のとおりのものとしよう: 各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(f (g' (n)) \neq g (n) (g' (n))\)、それは、可能であることになる、なぜなら、\(S_{g' (n)}\)は\(1\)個より多い要素たちを持っていた、したがって、\(g (n) (g' (n))\)は決定されていたところ、\(f (g' (n))\)を\(S_{g' (n)} \setminus \{g (n) (g' (n))\}\)から選択する: \(g'\)はインジェクティブ（単射）であるから、\(\{g' (n) \vert n \in \mathbb{N}\}\)内に重複は無い; 各\(j \in J \setminus g' (\mathbb{N})\)に対して、\(S_{j}\)の任意の要素を\(f (j)\)として取る。
すると、\(f\)は\(g\)によってカバーされないことになる、なぜなら、各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(f \neq g (n)\)、なぜなら、\(f (g' (n)) \neq g (n) (g' (n))\)。
それは、\(g\)がサージェクティブ（全射）であったことに反する矛盾である。
したがって、サージェクション（全射）\(g: \mathbb{N} \to \times_{j \in J} S_j\)は無い。
したがって、\(\times_{j \in J} S_j\)はカウンタブル（可算）でない。
