リアルナンバー（実数）たちセット（集合）およびイクイバレンスリレーション（同値関係）で\(2\)個の要素たちはイクイバレント（同値）である、もしも、それらの差がラショナル（有理）である場合、そしてその場合に限って、ものに対して、クウォシェント（商）セット（集合）はアンカウンタブル（不可算）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クオシエント（商）セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、クオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、カウンタブルセット（可算集合）たちの任意のファイナイト（有限）プロダクトはカウンタブル（可算）であるという命題を認めている。
- 読者は、インジェクション（単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のインフィニット（無限）セット（集合）に対して、もしも、当該セット（集合）からナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）の中への任意のインジェクション（単射）がある場合、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）から当該セット（集合）の上へのあるバイジェクション（全単射）があるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リアルナンバー（実数）たちセット（集合）およびイクイバレンスリレーション（同値関係）で任意の\(2\)個の要素たちはイクイバレント（同値）である、もしも、それらの差がラショナル（有理）である場合、そしてその場合に限って、ものに対して、クウォシェント（商）セット（集合）はアンカウンタブル（不可算）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\):
\(\sim\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、各\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)に対して、\(r_1 \sim r_2 \iff r_1 - r_2 \in \mathbb{Q}\)
\(\mathbb{R} / \sim\): \(= \text{ 当該クオシエント（商）セット（集合） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\mathbb{R} / \sim \notin \{\text{ 全てのカウンタブルセット（可算集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\sim\)は本当にあるイクイバレンスリレーション（同値）であることを見る; ステップ2: クラシフィケーションマップ（クラス分け写像）\(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} / \sim\)、任意のレプリゼンタティブ（代表）たちマップ（写像）\(f: \mathbb{R} / \sim \to \mathbb{R}\)、マップ（写像）\(h: \mathbb{R} \to (\mathbb{R} / \sim) \times \mathbb{Q}, r \mapsto (g (r), r - f (g (r)))\)を取り、\(h\)はあるインジェクション（単射）であることを見る。
ステップ1:
\(\sim\)は本当にあるイクイバレンスリレーション（同値）であることを見よう。
1) \(\forall r \in \mathbb{R} (r \sim r)\): リフレクシビティ（反射性）: \(r - r = 0 \in \mathbb{Q}\)、したがって、\(r \sim r\)。
2) \(\forall r_1, r_2 \in \mathbb{R} (r_1 \sim r_2 \implies r_2 \sim r_1)\): シンメトリー（対称性）: \(r_1 - r_2 \in \mathbb{Q}\)、したがって、\(r_2 - r_1 = - (r_1 - r_2) \in \mathbb{Q}\)、したがって、\(r_2 \sim r_1\)。
3) \(\forall r_1, r_2, r_3 \in \mathbb{R} ((r_1 \sim r_2 \land r_2 \sim r_3)\implies r_1 \sim r_3)\): トランジティビティ（推移性）: \(r_1 - r_2 \in \mathbb{Q}\)および\(r_2 - r_3 \in \mathbb{Q}\)、したがって、\(r_1 - r_3 = r_1 - r_2 + r_2 - r_3 = (r_1 - r_2) + (r_2 - r_3) \in \mathbb{Q}\)、したがって、\(r_1 \sim r_3\)。
したがって、\(\sim\)はあるイクイバレンスリレーション（同値関係）である。
ステップ2:
当該クラシフィケーションマップ（クラス分け写像）\(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} / \sim, r \mapsto [r]\)がある、それは、あるサージェクション（全射）である、クオシエント（商）セット（集合）の定義に対する"注"内で言及されているとおり。
あるレプリゼンタティブ（代表）たちマップ（写像）\(f: \mathbb{R} / \sim \to \mathbb{R}\)がある、それは、あるインジェクション（単射）である、クオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）の定義に対する"注"内に言及されているとおり。
マップ（写像）\(h: \mathbb{R} \to (\mathbb{R} / \sim) \times \mathbb{Q}, r \mapsto (g (r), r - f (g (r)))\)を定義しよう。
それは、本当に妥当である、なぜなら、\(r, f (g (r)) \in g (r)\)であるから、\(r \sim f (g (r))\)、したがって、\(r - f (g (r)) \in \mathbb{Q}\)。
\(h\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、\(r_1 \neq r_2\)を満たす各\(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\)に対して、\(g (r_1) \neq g (r_2)\)である時は、\(h (r_1) \neq h (r_2)\)、そして、そうでない時は、\(f (g (r_1)) = f (g (r_2))\)、したがって、\(r_1 - f (g (r_1)) \neq r_2 - f (g (r_2))\)、なぜなら、そうでなければ、\(r_1 = r_2\)、矛盾。
もしも、\(\mathbb{R} / \sim\)がカウンタブル（可算）であったら、\((\mathbb{R} / \sim) \times \mathbb{Q}\)はカウンタブル（可算）だということになる、カウンタブルセット（可算集合）たちの任意のファイナイト（有限）プロダクトはカウンタブル（可算）であるという命題によって、したがって、あるバイジェクション（全単射）\(h': (\mathbb{R} / \sim) \times \mathbb{Q} \to \mathbb{N}\)があることになる、そして、\(h' \circ h: \mathbb{R} \to (\mathbb{R} / \sim) \times \mathbb{Q} \to \mathbb{N}\)はあるインジェクション（単射）であることになる、インジェクション（単射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であるという命題によって、すると、\(\mathbb{R}\)はカウンタブル（可算）であることになる、任意のインフィニット（無限）セット（集合）に対して、もしも、当該セット（集合）からナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）の中への任意のインジェクション（単射）がある場合、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）から当該セット（集合）の上へのあるバイジェクション（全単射）があるという命題によって、\(\mathbb{R}\)はカウンタブル（可算）でなかったことに反する矛盾。
したがって、\(\mathbb{R} / \sim\)はカウンタブル（可算）でない。
