サブセット（部分集合）イクイバレンスリレーション（同値関係）の定義
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、サブセット（部分集合）イクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( S'\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)で、任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）\(\sim'\)を持つもの
\( S\): \(\subseteq S'\)
\(*\sim\): \(\in \{S \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall s_1, s_2 \in S (s_1 \sim s_2 \iff s_1 \sim' s_2)\)
//
2: 注
\(\sim\)は本当に\(S\)上のあるイクイバレンスリレーション（同値関係）であることを見よう
\(\sim\)は本当にあるリレーション（関係）である、なぜなら、\(\sim = \{\langle s_1, s_2 \rangle \in S \times S \vert s_1 \sim s_2\}\)、それは、ウェルデファイント（妥当に定義された）である、なぜなら、\(s_1 \sim s_2\)、もしも、\(s_1 \sim' s_2\)である場合、そしてその場合に限って、それは、\(\langle s_1, s_2 \rangle \in \sim'\)に等しい、したがって、\(\sim = \{\langle s_1, s_2 \rangle \in S \times S \vert \langle s_1, s_2 \rangle \in \sim'\}\)。
1) \(\forall s \in S (s \sim s)\): リフレクシビティ（反射性）: \(s \sim' s\)。
2) \(\forall s_1, s_2 \in S (s_1 \sim s_2 \implies s_2 \sim s_1)\): シンメトリー（対称性）: \(s_1 \sim s_2 \implies s_1 \sim' s_2 \implies s_2 \sim' s_1 \implies s_2 \sim s_1\)。
3) \(\forall s_1, s_2, s_3 \in S ((s_1 \sim s_2 \land s_2 \sim s_3) \implies s_1 \sim s_3)\): トランジティビティ（推移性）: \((s_1 \sim s_2 \land s_2 \sim s_3) \implies (s_1 \sim' s_2 \land s_2 \sim' s_3) \implies s_1 \sim' s_3 \implies s_1 \sim s_3\)。
したがって、\(\sim\)は、\(S\)上のあるイクイバレンスリレーション（同値関係）である。
