セット（集合）でイクイバレンスリレーション（同値関係）を持つものおよびサブセット（部分集合）でサブセット（部分集合）イクイバレンスリレーション（同値関係）を持つものに対して、サブセット（部分集合）のクオシエント（商）セット（集合）からセット（集合）のクオシエント（商）セット（集合）の中へのカノニカル（正典）インジェクション（単射）があることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、サブセット（部分集合）イクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
- 読者は、クオシエント（商）セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）で任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）を持つものおよび任意のサブセット（部分集合）で当該サブセット（部分集合）イクイバレンスリレーション（同値関係）を持つものに対して、当該サブセット（部分集合）のクオシエント（商）セット（集合）から当該セット（集合）のクオシエント（商）セット（集合）の中へのカノニカル（正典）インジェクション（単射）があるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S'\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)で、任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）\(\sim'\)を持つもの
\(S\): \(\subseteq S'\)で、当該サブセット（部分集合）イクイバレンスリレーション（同値関係）\(\sim\)を持つもの
\(f'\): \(: S' \to S' / \sim', s' \mapsto [s']'\)
\(f\): \(: S \to S / \sim, s \mapsto [s]\)
\(g\): \(: S / \sim \to S' / \sim', [s] \mapsto [s]'\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(g \in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\}\)
\(\land\)
\(f' \vert_S = g \circ f\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(g\)は本当にウェルデファイント（妥当に定義された）であることを見る; ステップ2: \([s_1] \neq [s_2]\)を満たす各\([s_1], [s_2] \in S / \sim\)に対して、\(g ([s_1]) \neq g ([s_2])\)であることを見る; ステップ3: \(f' \vert_S = g \circ f\)であることを見る。
ステップ1:
\(g\)は本当にウェルデファイント（妥当に定義された）であることを見よう。
各\([s] \in S / \sim\)に対して、\(s_1 \in S\)を、\([s_1] = [s]\)を満たす任意の他のものとしよう、すると、\(s_1 \sim s\)、それが含意するのは、\(s_1 \sim' s\)、したがって、\([s_1]' = [s]'\)、したがって、\(g ([s]) = [s]'\)は、\([s]\)のレプレゼンタティブ（代表）の選択に依存しない。
したがって、\(g\)はウェルデファイント（妥当に定義された）である。
ステップ2:
\([s_1], [s_2] \in S / \sim\)を、\([s_1] \neq [s_2]\)を満たす任意のものとしよう。
\(g ([s_1]) \neq g ([s_2])\)、なぜなら、もしも、\(g ([s_1]) = [s_1]' = [s_2]' = g ([s_2])\)であったら、それは、\(s_1 \sim' s_2\)を含意することになる、したがって、\(s_1 \sim s_2\)、したがって、\([s_1] = [s_2]\)、矛盾。
したがって、\(g\)はあるインジェクション（単射）である。
ステップ3:
各\(s \in S\)によって、\(f' \vert_S (s) = [s]'\)、その一方で、\(g \circ f (s) = g ([s]) = [s]'\)。
したがって、\(f' \vert_S = g \circ f\)。
