クウォシェント（商）マップ（写像）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はクウォシェント（商）である、もしも、構成要素マップ（写像）たちのコドメイン（余域）たちが後続のマップ（写像）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クウォシェント（商）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）たちのコンポジション（合成）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、サージェクション（全射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、クウォシェント（商）マップ（写像）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はクウォシェント（商）である、もしも、当該構成要素マップ（写像）たちのコドメイン（余域）たちが後続のマップ（写像）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{T_1, ..., T_{n + 1}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\{f_1: T_1 \to T_2, ..., f_n: T_n \to T_{n + 1}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのクウォシェント（商）マップ（写像）たち }\}\)
\(f_n \circ ... \circ f_1\): \(: T_1 \to T_{n + 1}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_n \circ ... \circ f_1 \in \{\text{ 全てのクウォシェント（商）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 注
"当該構成要素マップ（写像）たちのコドメイン（余域）たちが後続のマップ（写像）たちのドメイン（定義域）たちに等しい"という要求が不可欠である、なぜなら、そうでなければ、\(f_n \circ ... \circ f_1\)は、サージェクティブ（全射）であるという保証すらない、サージェクション（全射）たちのあるファイナイト（有限）コンポジション（合成）は必ずしもサージェクション（全射）ではないという命題によって、そして、いかなる非サージェクティブ（全射）マップ（写像）もクウォシェント（商）であり得ない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f_n \circ ... \circ f_1\)はあるコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）であることを見る; ステップ2: 以下を満たす各\(S \subseteq T_{n + 1}\)、つまり、\((f_n \circ ... \circ f_1)^{-1} (S) \subseteq T_1\)はオープン（開）である、に対して、\(S\)はオープン（開）であることを見る。
ステップ1:
\(f_n \circ ... \circ f_1\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(f_n \circ ... \circ f_1\)はあるサージェクション（全射）である、サージェクション（全射）たちの任意のファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、という命題によって。
ステップ2:
\(S \subseteq T_{n + 1}\)を、\((f_n \circ ... \circ f_1)^{-1} (S) \subseteq T_1\)がオープン（開）である任意のものとしよう。
\((f_n \circ ... \circ f_1)^{-1} (S) = f_1^{-1} (f_2^{-1} (... f_{n - 1}^{-1} (f_n^{-1} (S) \cap S_n) ...) \cap S_2))\)、任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題によって、\(= f_1^{-1} (f_2^{-1} (... f_{n - 1}^{-1} (f_n^{-1} (S)) ...)))\): "\(\cap S_n\)"等たちは不要である、なぜなら、\(S'_j = S_j\)、本ケースでは。
それはオープン（開）であるから、\(f_2^{-1} (... f_{n - 1}^{-1} (f_n^{-1} (S)) ...) \subseteq T_2\)はオープン（開）である、なぜなら、\(f_1\)はクウォシェント（商）である、...、\(f_n^{-1} (S) \subseteq T_n\)はオープン（開）である、なぜなら、\(f_{n - 1}\)はクウォシェント（商）である、そして、\(S\)はオープン（開）である、なぜなら、\(f_n\)はクウォシェント（商）である。
したがって、\(f_n \circ ... \circ f_1\)はクウォシェント（商）である。
