コントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）からトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）はコンスタントマップ（写像）へホモトピックであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（連続写像）はあるコンスタントマップ（写像）へホモトピックであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのコントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists c_{p_2}: T_1 \to T_2, \in \{\text{ 全てのコンスタントマップ（写像）たち }\} (f \simeq c_{p_2})\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: take a constant map, \(c_{p_1}: T_1 \to T_1, t \mapsto p_1\), and a homotopy from \(id_{T_1}\) to \(c_{p_1}\), \(g: T_1 \times I \to T_1\); Step 2: take \(f \circ g\) and see that \(f \circ g\) is a homotopy from \(f\) to the constant map to \(p_2 := f (p_1)\).
Step 1:
There are a constant map, \(c_{p_1}: T_1 \to T_1, t \mapsto p_1\), and a homotopy from \(id_{T_1}: T_1 \to T_1\) to \(c_{p_1}\), \(g: T_1 \times I \to T_1\), by the definition of contractible topological space.
Step 2:
Let us take \(f \circ g: T_1 \times I \to T_2\).
\(f \circ g\) is continuous, by the proposition that for any maps between any arbitrary subspaces of any topological spaces continuous at any corresponding points, the composition is continuous at the point.
For each \(t \in T_1\), \(f \circ g (t, 0) = f \circ id_{T_1} (t) = f (t)\) and \(f \circ g (t, 1) = f \circ c_{p_1} (t) = f (p_1) := p_2\), which is a constant map to \(p_2\), \(:= c_{p_2}\).
So, \(f \simeq c_{p_2}\).
