コントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）はパスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、パスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）はパスコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのコントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: take a constant map, \(f: T \to T, t \mapsto c\), such that \(f \simeq id\) and take a homotopy, \(f': T \times I \to T\), and see that \(f' (t', ): I \to T\) is a path from \(t'\) to \(c\); Step 2: see that for each \(t', t'' \in T\), there is a path from \(t'\) to \(t''\).
Step 1:
There is a constant map, \(f: T \to T, t \mapsto c\), such that \(f \simeq id\), by the definition of contractible topological space.
So, there is a homotopy, \(f': T \times I \to T\), such that for each \(t \in T\), \(f' (t, 0) = id (t) = t\) and \(f' (t, 1) = f (t) = c\).
Let \(t' \in T\) be any.
Let \(f' (t', ): I \to T\) be the map induced from \(f'\) with \(t'\) fixed.
\(f' (t', )\) is continuous, by the proposition that for any continuous map from any product topological space into any topological space, the induced map with any set of some components of the domain fixed is continuous.
\(f' (t', 0) = t'\) and \(f' (t', 1) = c\).
So, \(f' (t', )\) is a path from \(t'\) to \(c\).
Step 2:
Let \(t', t'' \in T\) be any.
By Step 1, there are a path from \(t'\) to \(c\), \(\lambda': I \to T\), and a path from \(t''\) to \(c\), \(\lambda'': I \to T\).
Let us take \(\widetilde{\lambda''}: [1, 2] \to T, j \mapsto \lambda'' (1 - (j - 1))\), which is valid, because \(1 - (j - 1) \in [0, 1]\), because \(j - 1 \in [0, 1]\), \(- (j - 1) \in [- 1, 0]\), and \(1 - (j - 1) \in [0, 1]\).
\(\widetilde{\lambda''} = \lambda'' \circ g\) where \(g: [1, 2] \to [0, 1], j \to 1 - (j - 1)\).
\(g\) is obviously continuous, so, \(\widetilde{\lambda''}\) is continuous, by the proposition that for any maps between any arbitrary subspaces of any topological spaces continuous at any corresponding points, the composition is continuous at the point.
Let us take \(\lambda: [0, 2] \to T, j \mapsto \lambda' (j) \text{ when } j \in [0, 1]; \mapsto \widetilde{\lambda''} (j) \text{ when } j \in (1, 2]\).
\(\lambda \vert_{[0, 1]} = \lambda'\).
\(\lambda \vert_{[1, 2]} = \widetilde{\lambda''}\), because \(\lambda \vert_{[1, 2]} (1) = \lambda' (1) = c = \lambda'' (1) = \lambda'' (1 - (1 - 1)) = \widetilde{\lambda''} (1)\).
\(\lambda\) is continuous, by the proposition that any map between topological spaces is continuous if the domain restriction of the map to each closed set of a finite closed cover is continuous.
\(\lambda (0) = t'\) and \(\lambda (2) = t''\).
So, \(\lambda\) is a path from \(t'\) to \(t''\).
So, \(T\) is path-connected.
