リニアリーオーダードセット（線形順序集合）および\(2\)個の要素たちに対して、もしも、第2要素より大きい各要素が第1要素より大きい場合、第1要素は第2要素以下であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニアリーオーダードセット（線形順序集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意の\(2\)個の要素たちに対して、もしも、第2要素より大きい各要素が第1要素より大きい場合、第1要素は第2要素以下であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのリニアリーオーダードセット（線形順序集合）たち }\}\)で、任意のリニアオーダリング（線形順序）\(\lt\)を持つもの
\(s_1\): \(\in S\)
\(s_2\): \(\in S\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall s \in S \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } s_2 \lt s (s_1 \lt s)\)
\(\implies\)
\(s_1 \le s_2\)
//
2: 注
任意のリアルナンバー（実数）は別の任意のリアルナンバー（実数）以下である、もしも、それは、後者プラス任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）以下である場合、という命題と比較のこと、それは、\(r_1 \le r_2 + \epsilon\)のみを要求する、その一方、本命題は、\(s_1 \lt s\)を要求する: \(s_1 \le s\)では十分でない。
例えば、\(S = \mathbb{Z}\)、カノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つもの、\(s_1 = 1\)、\(s_2 = 0\)としよう、すると、各\(s_2 \lt s\)に対して、\(s_1 \le s\)、しかし、"\(s_1 \le s_2\)"は成立しない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(s_2 \lt s_1\)であると仮定し、矛盾を見つける。
ステップ1:
\(s_2 \lt s_1\)であったと仮定しよう。
\(s_1 \lt s_1\)、当該仮定によって、矛盾。
したがって、\(s_1 \le s_2\)。
