メジャラブルスペース（測定可能空間）の中へのマップ（写像）たちのドメイン（定義域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）に対して、メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対して、ポイントプリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）は、メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）内に包含されているまたはメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）からディスジョイント（互いに素）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）の中への任意のマップ（写像）たちのドメイン（定義域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）に対して、各メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）に対して、各、ポイントプリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）は、当該メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）内に包含されているまたは当該メジャラブルサブセット（測定可能部分集合）からディスジョイント（互いに素）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\((M_2, A_2)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのインデックスセット（集合）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\(\{f_j: S_1 \to M_2 \vert j \in J\}\):
\(\sigma (\{f_j \vert j \in J\})\): \(= S_1 \text{ 上に } \{f_j \vert j \in J\} \text{ によってインデュースト（誘導された） } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall a \in \sigma (\{f_j \vert j \in J\}) (\forall m \in \times_{j \in J} M_2 (\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \subseteq a \lor \cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \cap a = \emptyset))\)
//
2: 注
\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \subseteq a \lor \cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \cap a = \emptyset\)は、実のところ、自然なことである、\(\sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)は、\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j)\)を分割する何らのメジャラブルサブセット（測定可能部分集合）も含む必要がないという、それは自然である、なぜなら、\(f_j\)下の各プリイメージ（前像）は、\({f_j}^{-1} (m_j)\)全体を包含するまたは\({f_j}^{-1} (m_j)\)からディスジョイント（互いに素）である、そして、ある\(a\)は必要である理由は、それが\(f_j\)たち下の何らかのプリイメージ（前像）たちに対する何らかのセット（集合）オペレーションたちの結果であることである、しかし、当該結果が\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j)\)を分割することはないように見える（"証明"が、本当にそうであることを証明する）。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(A := \{a \in \sigma (\{f_j \vert j \in J\}) \vert \forall m \in \times_{j \in J} M_2 (\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \subseteq a \lor \cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \cap a = \emptyset)\}\)を定義し、\(A\)は、全ての\(f_j\)たちをメジャラブル（測定可能）にするある\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であることを見る。
ステップ1:
\(A := \{a \in \sigma (\{f_j \vert j \in J\}) \vert \forall m \in \times_{j \in J} M_2 (\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \subseteq a \lor \cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \cap a = \emptyset)\}\)を定義しよう。
言い換えると、\(A\)は、\(\sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)から、ある\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j)\)を分割する要素たちを取り除いた。
\(A\)はある\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であることを見よう。
1) \(S_1 \in A\): \(S_1 \in \sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)であるところ、\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \subseteq S_1\)。
2) \(\forall a \in A (S_1 \setminus a \in A)\): \(a \in \sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)であるから、\(S_1 \setminus a \in \sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)、そして、\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \subseteq a\)である時、\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \cap (S_1 \setminus a) = \emptyset\)、そして、\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \cap a = \emptyset\)である時、\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \subseteq S_1 \setminus a\)、したがって、\(S_1 \setminus a \in A\)。
3) \(\forall s: \mathbb{N} \to A (\cup_{n \in \mathbb{N}} s (n) \in A)\): \(s\)は\(\sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)の中へのものであるから、\(\cup_{n \in \mathbb{N}} s (n) \in \sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)、そして、ある\(n \in \mathbb{N}\)に対して\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \subseteq s (n)\)である時、\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \subseteq \cup_{n \in \mathbb{N}} s (n)\)、そして、\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \cap s (n) = \emptyset\)、各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、である時、\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \cap \cup_{n \in \mathbb{N}} s (n) = \emptyset\)。
したがって、\(A\)はある\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）である。
\(A\)は各\(f_j\)をメジャラブル（測定可能）にする、なぜなら、各\(a_2 \in A_2\)に対して、\({f_j}^{-1} (a_2) \in \sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)、なぜなら、\(\sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)は全ての\(f_j\)たちをメジャラブル（測定可能）にする、しかし、\(m_j \in a_2\)である時、\({f_j}^{-1} (m_j) \subseteq {f_j}^{-1} (a_2)\)、したがって、\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \subseteq {f_j}^{-1} (a_2)\)、そして、\(m_j \notin a_2\)である時、\({f_j}^{-1} (m_j) \cap {f_j}^{-1} (a_2) = \emptyset\)、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題によって、したがって、\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \cap {f_j}^{-1} (a_2) = \emptyset\)、したがって、\({f_j}^{-1} (a_2) \in A\)、いずれにせよ。
したがって、\(A\)は、全ての\(f_j\)たちをメジャラブル（測定可能）にするある\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）である。
したがって、\(\sigma (\{f_j \vert j \in J\}) \subseteq A\)。
しかし、\(A \subseteq \sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)であるから、\(A = \sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)、それが意味するのは、\(A\)は実際には何も取り除かなかったということ。
したがって、各\(a \in \sigma (\{f_j \vert j \in J\})\)に対して、各\(m \in \times_{j \in J} M_2\)に対して、\(\cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \subseteq a \lor \cap_{j \in J} {f_j}^{-1} (m_j) \cap a = \emptyset\)。
