\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つもの上の非減少シーケンス（列）に対して、シーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）はシーケンス（列）のレンジ（値域）のサプリマム（上限）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）に対して、任意の非空ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）はマキシマム（最大）およびミニマム（最小）を持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）でカノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つもの上の任意の非減少シーケンス（列）に対して、もしも、当該シーケンス（列）がアッパーバウンデッド（上方有界）でない場合、当該シーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）も当該シーケンス（列）のレンジ（値域）のサプリマム（上限）も存在しない、そして、そうでない場合、当該シーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）は当該シーケンス（列）のレンジ（値域）のサプリマム（上限）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\subseteq \mathbb{N}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(J \neq \emptyset\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)で、カノニカル（正典）オーダリング（順序）を持つもの
\(s\): \(: J \to \mathbb{R}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(j \lt j'\)を満たす各\(j, j' \in J\)に対して、\(s (j) \le s (j')\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\nexists r \in \mathbb{R} (s \le r)\)
\(\implies\)
\(\nexists lim s \land \nexists Sup (Ran (s))\)
)
\(\land\)
(
\(\exists r \in \mathbb{R} (s \le r)\)
\(\implies\)
\(\exists lim s \land \exists Sup (Ran (s)) \land lim s = Sup (Ran (s))\)
)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(s\)はアッパーバウンデッド（上方有界）でないと仮定する; ステップ2 \(lim s\)も\(Sup (Ran (s))\)も存在しないことを見る; ステップ3: \(s\)はアッパーバウンデッド（上方有界）であると仮定する; ステップ4: \(Sup (Ran (s))\)は存在することを見る; ステップ5: \(lim s = Sup (Ran (s))\)であることを見る。
ステップ1:
\(s\)はアッパーバウンデッド（上方有界）でないと仮定しよう。
ステップ2:
不可避に、\(J\)はインフィニット（無限）である、なぜなら、もしも、\(\vert J \vert \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)であったら、\(s \le Max (Ran (s))\)であることになる、ここで、\(Max (Ran (s)) \in \mathbb{R}\)は存在することになる、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）に対して、任意の非空ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）はマキシマム（最大）およびミニマム（最小）を持つという命題によって、そして、\(Max (Ran (s))\)はあるアッパーバウンド（上限）であることになる、矛盾。
\(lim s \in \mathbb{R}\)は存在しない、なぜなら、もしも、\(lim s \in \mathbb{R}\)が存在したら、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\vert lim s - s (J_n) \vert \lt 1\)、があることになる、したがって、\(s (J_n) \lt lim s + 1\)、したがって、\(s \le Max (\{s (J_1), ..., s (J_N), lim s + 1\})\)、したがって、\(Max (\{s (J_1), ..., s (J_N), lim s + 1\})\)はあるアッパーバウンド（上限）であることになる、矛盾。
\(Sup (Ran (s)) \in \mathbb{R}\)は存在しない、なぜなら、もしも、\(Sup (Ran (s))\)が存在したら、\(Sup (Ran (s)) = Min (Ub (Ran (s)))\)は\(s\)のあるアッパーバウンド（上限）であることになる、矛盾。
ステップ3:
\(s\)はアッパーバウンデッド（上方有界）であると仮定しよう。
ステップ4:
\(Sup (Ran (s))\)は存在する、\(\mathbb{R}\)のよく知られているプロパティによって。
ステップ5:
\(\vert J \vert \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)である時、\(Sup (Ran (s)) = s (J_{\vert J \vert})\)、なぜなら、\(s\)は非減少である、そして、\(lim s = s (J_{\vert J \vert})\)、したがって、\(lim s = Sup (Ran (s))\)。
\(J\)はインフィニット（無限）であると仮定しよう、これ以降は。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(Sup (Ran (s)) - \epsilon \lt s (J_N)\)、がある、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(Sup (Ran (s)) - \epsilon \lt s (J_N) \le s (J_n)\)、なぜなら、\(s\)は非減少である: \(J_N \lt J_n\)、\(N \lt n\)である時。
他方で、\(s (J_n) \le Sup (Ran (s)) \lt Sup (Ran (s)) + \epsilon\)、なぜなら、\(Sup (Ran (s)) = Min (Ub (Ran (s)))\)、したがって、\(Sup (Ran (s))\)は\(s\)のあるアッパーバウンド（上限）である。
したがって、\(Sup (Ran (s)) - \epsilon \lt s (J_n) \lt Sup (Ran (s)) + \epsilon\)、それが意味するのは、\(\vert s (J_n) - Sup (Ran (s)) \vert \lt \epsilon\)。
したがって、\(lim s = Sup (Ran (s))\)。
